1 . 已知是圆上的动点，为定点，线段的垂直平分线交线段于点，点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点的动直线交曲线于不同的A，B两点，为线段上一点，满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程.

2 . 已知椭圆的方程为（常数），点A为椭圆短轴的上顶点，点是椭圆上异于点A的一个动点．若动点到定点A的距离的最大值仅在点为短轴得另一顶点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知.
(1)若，判断椭圆是否为“圆椭圆”；
(2)若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围；
(3)已知椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，点关于原点的对称点为点（点也异于点A），且直线、分别与轴交于、两点．试问以线段为直径的圆是否过定点？证明你的结论．

3 . 设，是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离为．对于平面xOy上给定的不同的两点，．
(1)若点是平面xOy上的点，试证明：．
(2)在平面xOy上是否存在点，同时满足：①；②？若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明．

5 . 若实数x，y，m满足，则称x比y更远离m．
(1)若比更远离1，求实数x的取值范围；
(2)判断是x比y更远离m的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件），并加以证明；
(3)已知，，若，证明：p比更远离．

7 . 已知抛物线（）的顶点为，直线与拋物线的交点（异于点）到点的距离为，
（1）求的标准方程；
（2）过点作斜率为（）的直线与交于点（异于点），直线关于直线对称的直线与交于点（异于点），求证：直线过定点．

8 . 在平面直角坐标系中，原点为，抛物线的方程为，线段是抛物线的一条动弦．
（1）求抛物线的准线方程；
（2）求，求证：直线恒过定点；
（3）过抛物线的焦点作互相垂直的两条直线、，与抛物线交于、两点，与抛物线交于、两点，、分别是线段、的中点，求面积的最小值．

9 . 已知集合（），对于，，定义A与B的差为(，，…，)；A与B之间的距离为=++…+．
（1）若写出所有可能的A，B；
（2），证明：；
（3），证明：三个数中至少有一个是偶数．

10 . 已知集合，定义上两点，
的距离.
（1）当时，以下命题正确的有__________（不需证明）：
①若，，则；
②在中，若，则；
③在中，若，则;
（2）当时，证明中任意三点满足关系；
（3）当时，设，，，其中，
.求满足点的个数，并证明从这个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于.