1 . 已知圆过点，，且圆心在直线上.是圆外的点，过点的直线交圆于，两点.
(1)求圆的方程；
(2)若点的坐标为，求证：无论的位置如何变化恒为定值；
(3)对于（2）中的定值，使恒为该定值的点是否唯一？若唯一，请给予证明；若不唯一，写出满足条件的点的集合.

2 . 已知抛物线，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，．
(1)当的坐标为时，求过，，三点的圆的方程；
(2)若，是上的任意点，求证：点处的切线的斜率为；
(3)证明：以为直径的圆恒过点．

3 . 已知抛物线经过点.设为原点,过抛物线的焦点作斜率不为的直线交抛物线于两点且直线分别交直线于点和点.求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点.

4 . 已知点，，，.

(1)证明：，并且四边形是等腰梯形；
(2)若过点，，，，求的标准方程.

5 . 如图，在平面直角坐标系中，设点是椭圆C：上一点，从原点O向圆作两条切线，分别与椭圆C交于点，直线的斜率分别记为.
   
(1)若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的情况下，求的最大值.

6 . 已知抛物线：，焦点为，过作轴的垂线，点在轴下方，过点作抛物线的两条切线，，，分别交轴于，两点，，分别交于，两点．
(1)若，与抛物线相切于，两点，求点的坐标；
(2)证明：的外接圆过定点；
(3)求面积的最小值．

7 . 已知以点为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点.
(1)求证：的面积为定值；
(2)设直线与圆C交于点M、N，若，求圆C的方程.

8 . 已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点.
(1)求圆O和椭圆C的方程；
(2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N.求证：为定值.

9 . 已知直线，圆.

(1)证明：直线与圆相交；
(2)设直线与的两个交点分别为、，弦的中点为，求点的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，设圆在点处的切线为，在点处的切线为，与的交点为.证明：Q，A，B，C四点共圆，并探究当变化时，点是否恒在一条定直线上?若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.

10 . 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，椭圆与抛物线在第一象限的交点为，．圆的圆心是抛物线上的动点，圆与轴交于两点，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明:无论点运动到何处，圆恒经过椭圆上一定点．