1 . 对于曲线,给出下列三个命题:
①关于坐标原点对称;
②曲线上任意一点到坐标原点的距离不小于2;
③曲线与曲线有四个交点.
其中正确的命题个数是( )
①关于坐标原点对称;
②曲线上任意一点到坐标原点的距离不小于2;
③曲线与曲线有四个交点.
其中正确的命题个数是( )
A.0 | B.1 | C.2 | D.3 |
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2 . 曲线的曲率是描述几何弯曲程度的量,曲率越大,曲线的弯曲程度越大.曲线在点M处的曲率(其中表示函数在点M处的导数,表示导函数在点M处的导数).在曲线上点M处的法线(过该点且垂直于该点处的切线的直线为曲线在此处的法线)指向曲线凹的一侧上取一点D,使得,则称以D为圆心,以为半径的圆为曲线在M处的曲率圆,因为此曲率圆与曲线弧度密切程度非常好,且再没有圆能介于此圆与曲线之间而与曲线相切,所以又称此圆为曲线在此处的密切圆.
(2)若要在曲线上支凹侧放置圆使其能在处与曲线相切且半径最大,求圆的方程;
(3)在(2)的条件下,在圆上任取一点P,曲线上任取关于原点对称的两点A,B,求的最大值.
(1)求出曲线在点处的曲率,并在曲线的图象上找一个点E,使曲线在点E处的曲率与曲线在点处的曲率相同;
(2)若要在曲线上支凹侧放置圆使其能在处与曲线相切且半径最大,求圆的方程;
(3)在(2)的条件下,在圆上任取一点P,曲线上任取关于原点对称的两点A,B,求的最大值.
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2024高三·全国·专题练习
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3 . 设直线与曲线有三个不同的交点A,B,C,且,则直线的方程为______ .
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4 . 数学中有许多形状优美的曲线.例如曲线:,当时,是我们熟知的圆;当时,是形状如“四角星”的曲线,称为星形线,则下列关于曲线的结论正确的是( )
A.对任意正实数,曲线恒过2个定点 |
B.存在无数个正实数,曲线至少有4条对称轴 |
C.星形线围成的封闭图形的面积大于2 |
D.星形线与圆有四个公共点 |
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5 . 已知曲线,,给出下列四个命题:
①曲线关于轴、轴和原点对称;
②当时,曲线,共有四个交点;
③当时,曲线围成的区域内(含边界)两点之间的距离的最大值是3;
④当时,曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积.
其中所有真命题的序号是______ .
①曲线关于轴、轴和原点对称;
②当时,曲线,共有四个交点;
③当时,曲线围成的区域内(含边界)两点之间的距离的最大值是3;
④当时,曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积.
其中所有真命题的序号是
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6 . 已知曲线:,:,中.①当时,曲线与有个公共点;②当时,第一象限内,曲线位于曲线的下方;③存在实数,使得曲线围成的区域面积恰等于围成的区域面积;④曲线围成的区域内(不含边界)的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数不多于曲线围成的区域内(不含边界)的整点的个数.其中,所有正确结论的序号是________ .
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7 . 设是面积为1的等腰直角三角形,D是斜边AB的中点,点P在所在的平面内,记与的面积分别为,,且.当,且时,________ ;记,则实数a的取值范围为________ .
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8 . 关于曲线:,:
①曲线关于x轴、y轴和原点对称;
②当时,两曲线共有四个交点;
③当时,曲线围成的区域面积大于曲线所围成的区域面积;
④当时,曲线对围成的平面区域内(含边界)两点之间的距离的最大值是3.
上述结论中所有正确命题的序号是___________ .
①曲线关于x轴、y轴和原点对称;
②当时,两曲线共有四个交点;
③当时,曲线围成的区域面积大于曲线所围成的区域面积;
④当时,曲线对围成的平面区域内(含边界)两点之间的距离的最大值是3.
上述结论中所有正确命题的序号是
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9 . 在平面直角坐标系中,函数的图像上有三个不同的点位于同一条直线上,且这三点的横坐标之和为0,则有以下结论:
①该直线必过x轴上的一个定点.
②该直线斜率的取值范围是.
则下列选项正确的是( )
①该直线必过x轴上的一个定点.
②该直线斜率的取值范围是.
则下列选项正确的是( )
A.①②都正确 | B.①正确②错误 |
C.①错误②正确 | D.①②都错误 |
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10 . 数学家笛卡尔研究了许多优美的曲线,如笛卡尔叶形线在平面直角坐标系中的方程为.当时,给出下列四个结论:
①曲线不经过第三象限;
②曲线关于直线轴对称;
③对任意,曲线与直线一定有公共点;
④对任意,曲线与直线一定有公共点.
其中所有正确结论的序号是________________ .
①曲线不经过第三象限;
②曲线关于直线轴对称;
③对任意,曲线与直线一定有公共点;
④对任意,曲线与直线一定有公共点.
其中所有正确结论的序号是
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