1 . 已知椭圆：的焦距为，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点作直线，与椭圆交于，两点，与轴交于点.若，，求证：为定值.

2 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，，满足，且以线段为直径的圆过点
（1）求椭圆的标准方程；
（2）为坐标原点，若直线与椭圆交于，两点，直线的斜率为，直线的斜率为，当的面积为定值1时，是否为定值？若是，求出的值；若不是，请说明理由.

3 . 已知椭圆的左焦点，点在上，过的直线与交于，两点.
（1）求的标准方程；
（2）当时，求直线的方程；
（3）已知点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切.

4 . 已知椭圆的焦距为，且过点．设点为圆上任意一点，过点作圆的切线交椭圆于点、．
（1）求椭圆的方程；
（2）试判断是否为定值?若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．

5 . 已知椭圆的焦距为，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点，交轴于点，若，，求证：为定值.

6 . 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线不过原点且与坐标轴不平行，直线与椭圆相交于，两点，线段的中点为，证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积是定值.

7 . 已知椭圆 经过点，F₁，F₂为 的左、右焦点，B₁，B₂为其短轴的两个端点，是与的等差中项.
（Ⅰ）求C的标准方程；
（Ⅱ）过F₂作一条不垂直于x轴的直线l，交C 于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于M点，求的取值范围.

8 . 已知焦点在轴上的椭圆，其离心率为，且经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线（斜率存在且不为0）与椭圆交于两点，，设，且满足，求实数的取值范围.

9 . 已知椭圆（），四点，，，，中恰有三点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）蝴蝶定理：如图1，为圆的一条弦，是的中点，过作圆的两条弦，.若，分别与直线交于点，，则.

该结论可推广到椭圆.如图2所示，假定在椭圆中，弦的中点的坐标为，且两条弦，所在直线斜率存在，证明：.

10 . 已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上.
（1）求的方程；
（2）过点分别作两条相互垂直的直线，，且与的另一交点为，与的另一交点为，，垂足为点.平面内是否存在一点到点的距离为定值，若存在，则求出点的坐标；若不存在，则说明理由.