1 . 在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，已知和都在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程．

2 . 如图，已知椭圆过点，离心率为，分别是椭圆的左、右顶点，过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）记、的面积分别为、，若，求的值；
（3）记直线、的斜率分别为、，求的值.

3 . 设椭圆C：的焦点为、，且该椭圆过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆上的点满足，求的值．

4 . 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）已知某椭圆的左右焦点分别为，，且经过点；
（2）椭圆经过点，.

5 . 给定椭圆，称圆为椭圆的“伴随圆”.已知点是椭圆上的点
（1）若过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，求被椭圆的伴随圆所截得的弦长：
（2）是椭圆上的两点，设是直线的斜率，且满足，试问：直线是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，试说明理由．

6 . 已知椭圆的焦点为，该椭圆经过点P（5,2）
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆上的点满足，求y₀的值.

7 . 已知中心在原点的椭圆的一个焦点为，为椭圆上一点，的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆相交于，两点，且以线段为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

8 . 已知椭圆过点，且离心率．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围．

9 . 如图，椭圆的上、下顶点分别为A，，右焦点为，点在椭圆上，且.

(1)若点坐标为，求椭圆的方程；
(2)延长交椭圆与点，若直线的斜率是直线的斜率的3倍，求椭圆的离心率；
(3)是否存在椭圆，使直线平分线段？

10 . 已知椭圆（）经过点，离心率为，动点（）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求以OM（O为坐标原点）为直径且被直线截得的弦长为的圆的方程；
（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明线段ON的长为定值，并求出这个定值．