1 . 求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)双曲线的渐近线方程为，焦点在轴上，两顶点之间的距离为2；
(2)与双曲线有共同的渐近线，并且经过点．

2 . 若为坐标原点，双曲线：的离心率为，点在双曲线上，点，分别为双曲线的左右焦点，.，分别为双曲线的左、右顶点，设过点的动直线交双曲线的右支于，两点，若直线，的斜率分别为，.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)（i）证明是否定值；
（ii）求的取值范围.

3 . 已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，且点在该双曲线上.直线交C于P，Q两点，直线的斜率之和为
(1)求该双曲线方程；
(2)求的斜率；

4 . 已知双曲线的离心率为，右焦点到渐近线的距离为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线过定点且与双曲线交于不同的两点、，点是双曲线的右顶点，直线、分别与轴交于、两点，以线段为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

5 . 若双曲线的一个焦点是，且离心率为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)设过焦点的直线与双曲线的右支相交于两点（不重合），
①求直线的倾斜角的取值范围；
②在轴上是否存在定点，使得直线和的斜率之积为常数，若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由.

6 . 已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，，且过点

(1)求双曲线的方程；
(2)求的面积.

7 . 从双曲线上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，点分别是双曲线的左、右顶点，点，且，.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作直线分别交双曲线左右两支于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上.

8 . 已知双曲线经过点，且离心率为2.
(1)求的方程；
(2)过点作轴的垂线，交直线于点，交轴于点.设点为双曲线上的两个动点，直线的斜率分别为，若，求.

9 . 已知双曲线的焦距为10，渐近线方程为.
(1)求的方程；
(2)已知过点的直线与双曲线的两支分别交于、两点，且与直线交于点，求的值.

10 . 双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在上.当时，.
(1)若点的坐标为，求双曲线的方程；
(2)若在第一象限，证明：.