1 . 双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在上.当时，.
(1)若点的坐标为，求双曲线的方程；
(2)若在第一象限，证明：.

2 . 已知双曲线C：经过点，其离心率为，A，B分别为C的左，右顶点．若P为直线上的动点，PA与C的另一交点为M，PB与C的另一交点为N．
(1)求C的方程；
(2)证明：直线MN过定点．

3 . 已知点在双曲线上，直线（不过点）的斜率为，且交双曲线于、两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：直线、的斜率之和为定值.

4 . 在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为.斜率为的直线经过点，点是直线与双曲线的交点，且.
(1)求双曲线的方程；
(2)若经过定点的直线与双曲线相交于、两点，经过点斜率为的直线与直线的交点为，求证：直线经过轴上的定点.

5 . 已知双曲线：经过点，，为左右顶点，且.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设过的直线与双曲线交于，两点（不与重合），记直线，的斜率为，，证明：为定值.

6 . 已知双曲线经过点，其渐近线方程为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线与曲线分别交于点和（点和都异于点），若满足，求证：直线过定点.

7 . 如图，在平面直角坐标系中，已知双曲线的左顶点为，右焦点为，离心率为2，且经过点，点是双曲线右支上一动点，过三点的圆的圆心为，点分别在轴的两侧.

(1)求的标准方程；
(2)求的取值范围；
(3)证明：.

8 . 已知双曲线的离心率为，且点在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若点M，N在双曲线C上，且，直线不与y轴平行，证明：直线的斜率为定值.

9 . 已知双曲线C过点,且C的渐近线方程为.
(1)求C的方程;
(2)设A为C的右顶点,过点的直线与圆O:交于点M,N,直线AM,AN与C的另一交点分别为D,E,求证:直线DE过定点.

10 . 已知双曲线过点，且离心率
(1)求该双曲线的标准方程：
(2)如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值.