1 . 已知抛物线：及抛物线：（），过的焦点F的直线与交于，两点，与交于，两点，O为坐标原点，．
(1)求的方程．
(2)过的中点M作的准线的垂线，垂足为N．
（ⅰ）证明：为定值；
（ⅱ）判断直线与的公共点个数．

2 . 在中，的对边分别为（其中为定值），以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系（如图），请你给出适当的条件，求出顶点的轨迹方程．
   

3 . 如图，已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为M．过点F的直线与抛物线交于A、B两点．
   
(1)若点A在第一象限，且，求直线AB的倾斜角；
(2)若点M在以线段AB为直径的圆周上，求直线AB的方程；
(3)设直线AM、BM分别与y轴交于P、Q两点，记、的面积分别为、，求的取值范围．

4 . 已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于不同的两点,，记点的坐标为．

(1)若点和到抛物线准线的距离分别为和，求；
(2)若斜率，求的面积；
(3)若是等腰三角形且，求实数．

5 . 已知抛物线.
(1)若上一点到其焦点的距离为4，求的方程；
(2)若，斜率为2的直线交于A、B两点，交轴的正半轴于点为坐标原点，，求点的坐标.

6 . 设抛物线的焦点为F，过F作直线l与C交于A、B两点．
(1)若弦长，求直线l的方程；
(2)求证：当直线轴时，的面积最小．

7 . 已知抛物线的焦点为F，准线为l；
(1)若F为双曲线的一个焦点，求双曲线C的离心率e；
(2)设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线EP的方程；
(3)经过点F且斜率为的直线l'与相交于A，B两点，O为坐标原点，直线分别与l相交于点M，N；试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点；若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由；

8 . 已知抛物线的准线与x轴交于点M，过点M的直线l与抛物线交于A、B两点，设到准线的距离为d.   

(1)若，求抛物线的标准方程；
(2)若, 求直线l的斜率.

9 . 设抛物线的方程为，其中常数，F是抛物线的焦点．
(1)若直线被抛物线所截得的弦长为6，求的值；
(2)设是点关于顶点O的对称点，是抛物线上的动点，求的最大值；
(3)设是两条互相垂直，且均经过点F的直线，与抛物线交于点,与抛物线交于点，若点G满足，求点G的轨迹方程．