1 . 法国数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现:椭圆的两条相互垂直切线的交点轨迹为圆,我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆.根据此背景,设为椭圆的一个外切长方形(的四条边所在直线均与椭圆相切),若在第一象限内的一个顶点纵坐标为2,则的面积为( )
A. | B.26 | C. | D. |
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解题方法
2 . 已知椭圆:的左、右焦点分别为、,离心率为,经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点(其中点在轴上方),的周长为8.(1)求椭圆的标准方程;
(2)如图,将平面沿轴折叠,使轴正半轴和轴所确定的半平面(平面)与轴负半轴和轴所确定的半平面(平面)互相垂直.
(i)若,求异面直线和所成角的余弦值;
(ii)是否存在,使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
(2)如图,将平面沿轴折叠,使轴正半轴和轴所确定的半平面(平面)与轴负半轴和轴所确定的半平面(平面)互相垂直.
(i)若,求异面直线和所成角的余弦值;
(ii)是否存在,使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
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3 . 已知椭圆的右焦点为,点在椭圆上,且垂直于轴.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线斜率存在,交椭圆于两点,三点不共线,且直线和直线关于对称.
(ⅰ)证明:直线过定点;
(ⅱ)求面积的最大值.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线斜率存在,交椭圆于两点,三点不共线,且直线和直线关于对称.
(ⅰ)证明:直线过定点;
(ⅱ)求面积的最大值.
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2024-04-05更新
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1337次组卷
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2卷引用:广东省深圳市科学高中2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题
4 . 已知椭圆的左、右焦点分别是,其离心率,过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.
(1)求椭圆的方程;
(2)点是椭圆上除长轴端点外的任一点,过点作斜率为的直线,使得与椭圆有且只有一个公共点,设直线的斜率分别为,若,证明:为定值,并求出这个定值;
(3)点是椭圆上除长轴端点外的任一点,设的角平分线交椭圆的长轴于点,求的取值范围.
(1)求椭圆的方程;
(2)点是椭圆上除长轴端点外的任一点,过点作斜率为的直线,使得与椭圆有且只有一个公共点,设直线的斜率分别为,若,证明:为定值,并求出这个定值;
(3)点是椭圆上除长轴端点外的任一点,设的角平分线交椭圆的长轴于点,求的取值范围.
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2024-03-25更新
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585次组卷
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2卷引用:广东省惠州市华罗庚中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
解题方法
5 . 已知椭圆的左、右顶点分别为,,点为直线上的动点.
(1)求椭圆的离心率.
(2)若,求点的坐标.
(3)若直线和直线分别交椭圆于,两点,请问:直线是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.
(1)求椭圆的离心率.
(2)若,求点的坐标.
(3)若直线和直线分别交椭圆于,两点,请问:直线是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.
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2024-03-14更新
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1003次组卷
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2卷引用:广东省茂名市华南师范大学附属茂名滨海学校2023-2024学年高二下学期第一次段考(4月)数学试题
名校
6 . 已知曲线,则下列结论正确的是( )
A.随着增大而减小 |
B.曲线的横坐标取值范围为 |
C.曲线与直线相交,且交点在第二象限 |
D.是曲线上任意一点,则的取值范围为 |
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2024-03-13更新
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1588次组卷
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5卷引用:广东省江门市2024届高三一模考试数学试卷
名校
解题方法
7 . 已知椭圆E:过点,且其离心率为.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点的斜率不为零的直线与椭圆E交于C,D两点,A,B分别为椭圆E的左、右顶点,直线AC,BD交于一点P,M为线段PB上一点,满足,问是否为定值,若是,求出该定值;若不是,说明理由(O为坐标原点).
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点的斜率不为零的直线与椭圆E交于C,D两点,A,B分别为椭圆E的左、右顶点,直线AC,BD交于一点P,M为线段PB上一点,满足,问是否为定值,若是,求出该定值;若不是,说明理由(O为坐标原点).
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2024-03-08更新
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1295次组卷
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4卷引用:广东省广州市番禺区2023-2024学年高二下学期期中数学试卷
解题方法
8 . 直线与椭圆交于A、B两点(点在第一象限),过点作轴的垂线,垂足为E,AE的中点为,设直线与椭圆的另一交点为,若,则椭圆的离心率为( )
A. | B. |
C. | D. |
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2024-03-03更新
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840次组卷
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3卷引用:广东省2024届高三新改革数学适应性训练六(九省联考题型)
9 . 已知椭圆的左焦点为,直线与交于,两点,若,则的离心率是__________ .
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10 . 动点与定点的距离和点到定直线的距离之比是常数.记点的轨迹为,过点且不与轴重合的直线交于,两点.
(1)求点的轨迹方程;
(2)设的左顶点为,直线,和直线分别交于点,,记直线,的斜率分别为,,求证:为定值.
(1)求点的轨迹方程;
(2)设的左顶点为,直线,和直线分别交于点,,记直线,的斜率分别为,,求证:为定值.
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