1 . 已知圆具有以下性质：设A，B是圆C：上关于原点对称的两点，点P是圆上的任意一点．若直线PA，PB的斜率都存在并分别记为，，则＝﹣1，是与点P的位置无关的定值．
（1）试类比圆的上述性质，写出椭圆的一个类似性质，并加以证明；
（2）如图，若椭圆M的标准方程为，点P在椭圆M上且位于第一象限，点A，B分别为椭圆长轴的两个端点，过点A，B分别作⊥PA，⊥PB，直线，交于点C，直线与椭圆M的另一交点为Q，且，求的取值范围（可直接使用（1）中证明的结论）．

2 . 已知分别是椭圆的左右焦点.
（Ⅰ）若是第一象限内该椭圆上的一点， ,求点的坐标.
（Ⅱ）若直线与圆相切，交椭圆于两点，是否存在这样的直线，使得？

3 . 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆相交于、两点．
（1）求 的周长；
（2）设点为椭圆的上顶点，点在第一象限，点在线段上．若，求点的横坐标；
（3）设直线不平行于坐标轴，点为点关于轴的对称点，直线与轴交于点．求面积的最大值．

4 . 已知椭圆的一个顶点，焦点在x轴上，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于不同的两点．当时，求m的取值范围．

5 . 在，一曲线 过 点，动点 在曲线上运动，且保持的值不变．
（Ⅰ）建立适当的坐标系，求曲线的方程；
（Ⅱ）直线： 与曲线交于两点，求四边形的面积的最大值．

6 . 已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，且椭圆四个顶点构成的菱形面积为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l ：y＝x＋m与椭圆C交于M，N两点，以MN为底边作等腰三角形，顶点为P(3，－2)，求m的值及△PMN的面积．

7 . 在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右顶点(如图所示)，点在椭圆的长轴上运动，且.设圆是以点为圆心，为半径的圆.
（1）若，圆和椭圆在第一象限的交点坐标为，求椭圆的方程；
（2）若椭圆的离心率为，过点作互相垂直的两条直线，交椭圆于P,Q两点，若直线PQ过点M，求m的值（用含的代数式表示）；
（3）当圆与椭圆有且仅有点一个交点时，求的运动范围（用含的代数式表示）.

8 . 已知，是椭圆：上两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为坐标原点，为椭圆上一动点，点，线段的垂直平分线交轴于点，求的最小值.

9 . 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求的取值范围；
（3）若直线不过点，求证：直线的斜率互为相反数．

10 . 已知椭圆经过点，长轴长是短轴长的2倍.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线经过点且与椭圆相交于两点（异于点），记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值，并求出该定值.