1 . 已知椭圆离心率为，且短轴长等于．
(1)求椭圆C的方程；
(2)不过原点O的直线与椭圆C交于A，B两点，求面积的最大值．

2 . 已知椭圆C的对称轴为坐标轴，且经过和．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线经过且与椭圆相切，求直线的斜率．

3 . 已知椭圆的焦距为，点在椭圆外，O为坐标原点，OP与椭圆交于点Q，过Q作椭圆的切线l，切线斜率为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设斜率为k的直线与椭圆E交于A，B两点，D为线段AB的中点，若E上存在点C，使得，求证：的面积为定值．

4 . 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆过，斜率为的直线与椭圆交于、.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若线段的垂直平分线交轴于点，记的中点为坐标为且，求直线的方程，并写出的坐标.

5 . 动点P与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，记点P的轨迹为E.
(1)求E的方程；
(2)已知，过点的直线与曲线E交于不同的两点A，B，点A在第二象限，点B在x轴的下方，直线，分别与x轴交于C，D两点，求四边形面积的最大值.

6 . 已知在平面直角坐标系中，点，，的周长为定值．
(1)设动点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；
(2)过点A作直线l交C于M、N两点，连接BM、BN分别与y轴交于D、E两点，若，求直线l的方程．

7 . 已知动点到定点的距离与到定直线：的距离之比为，记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)已知曲线与轴的正半轴交于点，不与轴垂直的直线交曲线于两点（，异于点），直线分别与轴交于两点，若的横坐标的乘积为，则直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

8 . 已知椭圆C：，左顶点分别为A，上顶点为B，左右焦点分别为F₁，F₂，P为椭圆上一点，最大值为3，△ABF₂的面积为.
(1)求椭圆方程；
(2)已知直线过F₁与椭圆C交与M，N两点（M在N上方），且，若，求直线斜率的值范围.

9 . 已知椭圆两焦点坐标分别为，一个顶点为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)是否存在斜率为的直线l，使直线l与椭圆交于不同的两点M，N，满足．若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

10 . 已知椭圆：的左右焦点分别为,,且焦距为2,点为椭圆上的动点（异于椭圆的左､右顶点）,.
(1)证明：;
(2)当,,过椭圆左焦点的直线与椭圆交于两点,在轴上是否存在点,使得为定值?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.