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1 . 双曲线具有如下光学性质:如图,是双曲线的左、右焦点,从右焦点发出的光线交双曲线右支于点,经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线过左焦点 .若双曲线的方程为,下列结论正确的是______ .①若,则;
②当过时,光由所经过的路程为;
③射线所在直线的斜率为,则;
④若,直线与相切,则.
②当过时,光由所经过的路程为;
③射线所在直线的斜率为,则;
④若,直线与相切,则.
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2 . 在平面直角坐标系中,双曲线的左顶点到右焦点的距离是3,且的离心率是2.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)点是上位于第一象限的一点,点关于原点对称,点关于轴对称.延长至使得,且直线和的另一个交点位于第二象限中.
(ⅰ)求的取值范围,并判断是否成立?
(ⅱ)证明:不可能是的三等分线.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)点是上位于第一象限的一点,点关于原点对称,点关于轴对称.延长至使得,且直线和的另一个交点位于第二象限中.
(ⅰ)求的取值范围,并判断是否成立?
(ⅱ)证明:不可能是的三等分线.
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3 . 已知,,点的轨迹方程为,则( )
A.点的轨迹为双曲线的一支 | B.直线上存在满足题意的点 |
C.满足的点共有2个 | D.的周长的取值范围是 |
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4 . 在平面直角坐标系中,双曲线C:的渐近线的方程为,焦距为.
(1)求的方程;
(2)如图,点为的下顶点,点在轴上(位于原点与上顶点之间),过作轴的平行线,过的另一条直线交于两点,直线分别交于两点,若,求的坐标.
(1)求的方程;
(2)如图,点为的下顶点,点在轴上(位于原点与上顶点之间),过作轴的平行线,过的另一条直线交于两点,直线分别交于两点,若,求的坐标.
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5 . 已知直线与双曲线有唯一公共点,过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点,则当运动时,点到两点距离之和的最小值为( )
A. | B. | C. | D. |
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6 . 过点作直线l与双曲线C:交于A,B两点,P是双曲线C的左顶点,直线与y轴分别交于.
(1)求直线l斜率的取值范围;
(2)求证:线段的中点M为定点,并求出点M的坐标.
(1)求直线l斜率的取值范围;
(2)求证:线段的中点M为定点,并求出点M的坐标.
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7 . 设双曲线C:(,)的右焦点为F,点O为坐标原点,过点F的直线与C的右支相交于A,B两点.
(1)当直线与x轴垂直,且两点的距离等于双曲线C的实轴长时,求双曲线C的离心率;
(2)若双曲线C的焦距为4,且恒成立,求双曲线C的实轴长的取值范围.
(1)当直线与x轴垂直,且两点的距离等于双曲线C的实轴长时,求双曲线C的离心率;
(2)若双曲线C的焦距为4,且恒成立,求双曲线C的实轴长的取值范围.
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8 . 已知双曲线的右焦点为,其渐近线方程为,
(1)求双曲线C的方程
(2)已知斜率为的直线经过点与曲线双曲线交于两点,为坐标原点,若,求的值.
(1)求双曲线C的方程
(2)已知斜率为的直线经过点与曲线双曲线交于两点,为坐标原点,若,求的值.
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9 . 已知双曲线的右焦点为,且经过点.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若以为斜率的直线L与双曲线C相交于两个不同的点M,N,线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求k的取值范围.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若以为斜率的直线L与双曲线C相交于两个不同的点M,N,线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求k的取值范围.
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10 . 已知点,圆,点满足,点的轨迹为曲线,点为曲线上一点且在轴右侧,曲线在点处的切线与圆交于,两点,设直线,的倾斜角分别为.
(1)求曲线的方程;
(2)求的值.
(1)求曲线的方程;
(2)求的值.
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