2024·全国·模拟预测
解题方法
1 . 已知双曲线C的中心为坐标原点O，C的一个焦点坐标为
，离心率为
．
(1)求C的方程；
(2)设C的上、下顶点分别为
，
，若直线l交C于
，
，且点N在第一象限，
，直线
与直线
的交点P在直线
上，证明：直线MN过定点．
，离心率为．(1)求C的方程；
(2)设C的上、下顶点分别为
，，若直线l交C于，，且点N在第一象限，，直线与直线的交点P在直线上，证明：直线MN过定点．
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2 . 已知双曲线
的一条渐近线方程为
，右焦点
到渐近线的距离为．
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)过点的直线
与双曲线交于
两点，
．求
的值．
的一条渐近线方程为，右焦点到渐近线的距离为．(1)求双曲线
的标准方程；(2)过点
的直线与双曲线交于两点，．求的值．
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3 . 已知点P为双曲线
上任意一点，过点
的切线交双曲线
的渐近线于
两点．
(1)证明：恰为
的中点；
(2)过点分别作渐近线的平行线，与OA、OB分别交于M、N两点，判断
PMON的面积是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由；
上任意一点，过点的切线交双曲线的渐近线于两点．(1)证明：
恰为的中点；(2)过点
分别作渐近线的平行线，与OA、OB分别交于M、N两点，判断PMON的面积是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由；
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4 . 已知双曲线的渐近线为
，左顶点为
.
(1)求双曲线的方程；
(2)直线
交
轴于点
，过点的直线交双曲线于
，，直线，
分别交于
，
，若
，
，，均在圆上，
①求的横坐标；
②求圆面积的取值范围.
的渐近线为，左顶点为.(1)求双曲线
的方程；(2)直线
交轴于点，过点的直线交双曲线于，，直线，分别交于，，若，，，均在圆上，①求
的横坐标；②求圆
面积的取值范围.
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解题方法
5 . 已知双曲线的左、右焦点分别为
，从下面3个条件中选出2个作为已知条件，并回答下面的问题：
①点
在双曲线上；②点
在双曲线上，
，且
；③双曲线的一条渐近线与直线
垂直.
(1)求双曲线的方程；
(2)设分别为双曲线的左、右顶点，过点
的直线与双曲线交于两点，若
，求直线的斜率.
的左、右焦点分别为，从下面3个条件中选出2个作为已知条件，并回答下面的问题：①点
在双曲线上；②点在双曲线上，，且；③双曲线的一条渐近线与直线垂直.(1)求双曲线
的方程；(2)设
分别为双曲线的左、右顶点，过点的直线与双曲线交于两点，若，求直线的斜率.
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名校
解题方法
6 . 已知双曲线
左右焦点分别为
，
，点
在双曲线上，且点到双曲线两条渐近线的距离乘积为
，过分别作两条斜率存在且互相垂直的直线
，
，已知与双曲线左支交于，两点，与左右两支分别交于，两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若线段，
的中点分别为
，
，求证：直线
恒过定点，并求出该定点坐标.
左右焦点分别为，，点在双曲线上，且点到双曲线两条渐近线的距离乘积为，过分别作两条斜率存在且互相垂直的直线，，已知与双曲线左支交于，两点，与左右两支分别交于，两点.(1)求双曲线
的方程；(2)若线段
，的中点分别为，，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标.
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7日内更新
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698次组卷
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2卷引用：浙江省天域全国名校协作体2023-2024学年高三二模数学试题
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解题方法
7 . 费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径为6，且与轴交于点
．平行于轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点
处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射），试判断属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．
(2)设曲线为解析式同的完整圆锥曲线，直线与交于，两点，交
轴于点，交轴于点（点不与的顶点重合）．若
，
，试求出点所有可能的坐标．
为6，且与轴交于点．平行于轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）
，试判断属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．(2)设曲线
为解析式同的完整圆锥曲线，直线与交于，两点，交轴于点，交轴于点（点不与的顶点重合）．若，，试求出点所有可能的坐标．
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8 . 已知双曲线
的右焦点为
，经过点F的直线l交C于A，B两点．当直线l的斜率为1时，
．
(1)求C的标准方程；
(2)经过点F的直线
交C于P，Q两点，直线
，记AB，PQ的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点．
的右焦点为，经过点F的直线l交C于A，B两点．当直线l的斜率为1时，．(1)求C的标准方程；
(2)经过点F的直线
交C于P，Q两点，直线，记AB，PQ的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点．
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解题方法
9 . 已知双曲线
（
，
）的左、右焦点分别为，，M，N都在双曲线C的左支上，
是正三角形，点到直线
的距离为2，则双曲线C的实轴长的取值范围是__________ ．
（，）的左、右焦点分别为，，M，N都在双曲线C的左支上，是正三角形，点到直线的距离为2，则双曲线C的实轴长的取值范围是
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与双曲线
相交且只有一个交点，与椭圆
交于M，N两点，则
面积的最大值为（
