1 . 已知双曲线的左,右焦点分别为,双曲线C的虚轴长为2,有一条渐近线方程为.如图,点A是双曲线C上位于第一象限内的点,过点A作直线l与双曲线的右支交于另外一点B,连接并延长交双曲线左支于点P,连接与,其中l垂直于的平分线m,垂足为D.(1)求双曲线C的标准方程;
(2)求证:直线m与直线的斜率之积为定值;
(3)求的最小值.
(2)求证:直线m与直线的斜率之积为定值;
(3)求的最小值.
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540次组卷
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2卷引用:湖南省长沙市第一中学2024届高考适应性演练(三)数学试题
2 . 已知双曲线的渐近线方程为,的半焦距为,且.
(1)求的标准方程.
(2)若为上的一点,且为圆外一点,过作圆的两条切线(斜率都存在),与交于另一点与交于另一点,证明:
(ⅰ)的斜率之积为定值;
(ⅱ)存在定点,使得关于点对称.
(1)求的标准方程.
(2)若为上的一点,且为圆外一点,过作圆的两条切线(斜率都存在),与交于另一点与交于另一点,证明:
(ⅰ)的斜率之积为定值;
(ⅱ)存在定点,使得关于点对称.
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3 . 已知双曲线的右顶点为,双曲线的左、右焦点分别为,且,双曲线的一条渐近线方程为.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)已知过点的直线与双曲线右支交于两点,点在线段上,若存在实数且,使得,证明:直线的斜率为定值.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)已知过点的直线与双曲线右支交于两点,点在线段上,若存在实数且,使得,证明:直线的斜率为定值.
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解题方法
4 . 已知椭圆,分别为双曲线的左,右顶点,分别为和的离心率.
(1)若.
(ⅰ)求的渐近线方程;
(ⅱ)过点的直线l交的右支于两点,与直线交于两点,记坐标分别为,求证:;
(2)从上的动点引的两条切线,经过两个切点的直线与的两条渐近线围成三角形的面积为S,试判断S是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,说明理由.
(1)若.
(ⅰ)求的渐近线方程;
(ⅱ)过点的直线l交的右支于两点,与直线交于两点,记坐标分别为,求证:;
(2)从上的动点引的两条切线,经过两个切点的直线与的两条渐近线围成三角形的面积为S,试判断S是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,说明理由.
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5 . 已知,设动点满足直线的斜率之积为4,记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)点为直线上的动点,直线与曲线交于点(不同于点),直线与曲线交于点(不同于点).证明:直线过定点.
(1)求曲线的方程;
(2)点为直线上的动点,直线与曲线交于点(不同于点),直线与曲线交于点(不同于点).证明:直线过定点.
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6 . 已知常数,向量,,经过点的直线以为方向向量,经过点的直线以为方向向量,其中.
(1)求点的轨迹方程,并指出轨迹.
(2)当时,点为轨迹与轴正半轴的交点,过点的直线与轨迹交于、两点,直线、分别与直线相交于,两点,试问:是存在定点在以、为直径的圆上?若存在,求出的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求点的轨迹方程,并指出轨迹.
(2)当时,点为轨迹与轴正半轴的交点,过点的直线与轨迹交于、两点,直线、分别与直线相交于,两点,试问:是存在定点在以、为直径的圆上?若存在,求出的坐标;若不存在,请说明理由.
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2024-04-06更新
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368次组卷
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2卷引用:湖南省常德市汉寿县第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
7 . 已知双曲线的左焦点为,点在双曲线上,直线与双曲线交于两点.
(1)若经过点,且,求;
(2)若经过点,且两点在双曲线的左支上,则在轴上是否存在定点,使得为定值.若存在,请求出面积的最小值;若不存在,请说明理由.
(1)若经过点,且,求;
(2)若经过点,且两点在双曲线的左支上,则在轴上是否存在定点,使得为定值.若存在,请求出面积的最小值;若不存在,请说明理由.
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8 . 已知双曲线的方程为,虚轴长为2,点在上.
(1)求双曲线的方程;
(2)过原点的直线与交于两点,已知直线和直线的斜率存在,证明:直线和直线的斜率之积为定值;
(3)过点的直线交双曲线于两点,直线与轴的交点分别为,求证:的中点为定点.
(1)求双曲线的方程;
(2)过原点的直线与交于两点,已知直线和直线的斜率存在,证明:直线和直线的斜率之积为定值;
(3)过点的直线交双曲线于两点,直线与轴的交点分别为,求证:的中点为定点.
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2024-03-03更新
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1364次组卷
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6卷引用:湖南省长沙市雅礼中学2024届高三4月综合测试数学试题
9 . 已知双曲线:(,)的右顶点,斜率为1的直线交于、两点,且中点.
(1)求双曲线的方程;
(2)证明:为直角三角形;
(3)若过曲线上一点作直线与两条渐近线相交,交点为,,且分别在第一象限和第四象限,若,,求面积的取值范围.
(1)求双曲线的方程;
(2)证明:为直角三角形;
(3)若过曲线上一点作直线与两条渐近线相交,交点为,,且分别在第一象限和第四象限,若,,求面积的取值范围.
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2024-03-01更新
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2193次组卷
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3卷引用:湖南省益阳市桃江县第四中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
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解题方法
10 . 已知双曲线的左、右焦点为,点在双曲线的右支上.且,三角形的面积为.
(1)求双曲线的方程;
(2)已知直线与轴交于点,过作斜率不为的直线,直线交双曲线于两点,直线交双曲线于两点.直线交直线于点,直线交直线于点.试证明:为定值,并求出该定值.
(1)求双曲线的方程;
(2)已知直线与轴交于点,过作斜率不为的直线,直线交双曲线于两点,直线交双曲线于两点.直线交直线于点,直线交直线于点.试证明:为定值,并求出该定值.
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