1 . 已知双曲线的左焦点为，点在双曲线上，直线与双曲线交于两点.
(1)若经过点，且，求；
(2)若经过点，且两点在双曲线的左支上，则在轴上是否存在定点，使得为定值.若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由.

2 . 在平面直角坐标系中，动圆与圆，圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为．

(1)求轨迹的方程；
(2)动直线与曲线恰有个公共点，交直线于轴同侧两点，请问的面积是否为定值，若为定值请求出该定值；若不是定值，请说明理由．

3 . 在平面直角坐标系中，动点到点的距离是点到直线的距离的2倍，记动点的轨迹为．

(1)求的方程；
(2)若直线分别与，，第一象限的交于点，，，过作斜率为，的直线，且分别与交于点，，若，的面积分别为，，证明：

4 . （多选）已知双曲线（，），，是其左、右顶点，，是其左、右焦点，是双曲线上异于，的任意一点，下列结论正确的是（       ）

A．

B．直线的斜率之积等于定值

C．使得为等腰三角形的点有且仅有8个

D．的面积为

5 . 已知双曲线的一条渐近线为，其虚轴长为为双曲线上任意一点．

(1)求双曲线的方程；
(2)求证：到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值；
(3)若双曲线的左顶点为，右焦点为，求的最小值．

7 . 已知双曲线：，，，直线与有唯一公共点．

(1)求的方程：
(2)若双曲线的离心率不大于，过的直线与交于不同的两点，．求直线与直线的斜率之和．

8 . 已知双曲线的离心率为，右焦点为．

(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线与双曲线的右支交于两点，在轴上是否存在点， 使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由．

9 . 已知椭圆与双曲线的离心率的平方和为.
(1)求的值；
(2)过点的直线与椭圆和双曲线分别交于点，，，，在轴上是否存在一点，直线，，，的斜率分别为，，，，使得为定值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

10 . 已知分别为双曲线的左､右顶点，，动直线与双曲线交于两点．当轴，且时，四边形的面积为．

(1)求双曲线的标准方程．
(2)设均在双曲线的右支上，直线与分别交轴于两点，若，判断直线是否过定点．若过，求出该定点的坐标；若不过，请说明理由．