2024高三下·全国·专题练习
1 . 已知点
在抛物线C：
上，点P，Q是抛物线C上的两个动点（均不与A重合），直线AP，AQ的斜率分别为
，
，且
．
(1)求直线PQ的斜率；
(2)设
的外接圆为圆G，过点A作抛物线C的切线l，试判断直线l与圆G的位置关系，并说明理由．
在抛物线C：上，点P，Q是抛物线C上的两个动点（均不与A重合），直线AP，AQ的斜率分别为，，且．(1)求直线PQ的斜率；
(2)设
的外接圆为圆G，过点A作抛物线C的切线l，试判断直线l与圆G的位置关系，并说明理由．
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解题方法
2 . 如图，已知抛物线
，其焦点为
，其准线与
轴交于点
，以
为直径的圆交抛物线于点
，连接
并延长交抛物线于点
，且
．
的方程．
(2)过点作轴的垂线与抛物线在第一象限交于点
，若抛物线上存在点
，
，使得
．求证：直线
过定点．
，其焦点为，其准线与轴交于点，以为直径的圆交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点，且．
的方程．(2)过点
作轴的垂线与抛物线在第一象限交于点，若抛物线上存在点，，使得．求证：直线过定点．
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解题方法
3 . 已知点
是抛物线
上一点，直线
与抛物线交于与不重合的两点
．若
，则（ ）
是抛物线上一点，直线与抛物线交于与不重合的两点．若，则（ ）A． | B． | C． | D． |
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4 . 已知O为坐标原点，抛物线
，过点
的直线交抛物线于A，B两点，
．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点
，连接AD，BD，证明：
；
(3)已知圆G以G为圆心，1为半径，过A作圆G的两条切线，与y轴分别交于点M，N且M，N位于x轴两侧，求
面积的最小值．
，过点的直线交抛物线于A，B两点，．(1)求抛物线C的方程；
(2)若点
，连接AD，BD，证明：；(3)已知圆G以G为圆心，1为半径，过A作圆G的两条切线，与y轴分别交于点M，N且M，N位于x轴两侧，求
面积的最小值．
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5 . 如图，过点
的动直线
交抛物线于两点.
，求的方程；
(2)当直线变动时，若不过坐标原点
，过点分别作（1）中的切线，且两条切线相交于点，问：是否存在唯一的直线，使得
？并说明理由.
的动直线交抛物线于两点.
，求的方程；(2)当直线
变动时，若不过坐标原点，过点分别作（1）中的切线，且两条切线相交于点，问：是否存在唯一的直线，使得？并说明理由.
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解题方法
6 . 在平面直角坐标系
中，已知是轴上的动点，
是平面内的动点，线段
的垂直平分线交轴于点
，交于点
，且恰好在
轴上，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程
(2)过点
的直线与曲线交于
两点，直线
与直线
分别交于点
，设线段的中点为
，求证：点在曲线上．
中，已知是轴上的动点，是平面内的动点，线段的垂直平分线交轴于点，交于点，且恰好在轴上，记动点的轨迹为曲线．(1)求曲线
的方程(2)过点
的直线与曲线交于两点，直线与直线分别交于点，设线段的中点为，求证：点在曲线上．
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7 . 已知为坐标原点，抛物线上一点
到其准线的距离为3．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设直线
，点是与轴的交点，过点
作与平行的直线
，过点的动直线
与抛物线相交于两点（不与原点重合），直线
分别交直线于点，证明：
.
为坐标原点，抛物线上一点到其准线的距离为3．(1)求抛物线
的标准方程；(2)设直线
，点是与轴的交点，过点作与平行的直线，过点的动直线与抛物线相交于两点（不与原点重合），直线分别交直线于点，证明：.
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解题方法
8 . 已知直线
与抛物线交于两点，且
．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)已知直线
与抛物线交于
两点（异于点），直线
与交于点，直线
与
交于点
，证明：直线
与轴交于定点．
与抛物线交于两点，且．(1)求抛物线
的标准方程；(2)已知直线
与抛物线交于两点（异于点），直线与交于点，直线与交于点，证明：直线与轴交于定点．
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解题方法
9 . 在平面直角坐标系中，已知圆心为点的动圆恒过点
，且与直线
相切，设动圆的圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过轴上点的直线与相切于点，过且垂直于的直线交于
两点，为线段的中点，证明：直线
过定点．
中，已知圆心为点的动圆恒过点，且与直线相切，设动圆的圆心的轨迹为曲线．(1)求曲线
的方程；(2)过
轴上点的直线与相切于点，过且垂直于的直线交于两点，为线段的中点，证明：直线过定点．
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10 . 已知抛物线的方程为
，把该抛物线整体平移，使其顶点与坐标原点重合，平移后的抛物线记作．
(1)写出平移过程，并求抛物线的标准方程；
(2)已知
是抛物线的内接三角形（点在直线的下方），过作抛物线的切线交于点，再过作抛物线的切线分别交
于点，记，
的面积分别为
，证明
为定值．
，把该抛物线整体平移，使其顶点与坐标原点重合，平移后的抛物线记作．(1)写出平移过程，并求抛物线
的标准方程；(2)已知
是抛物线的内接三角形（点在直线的下方），过作抛物线的切线交于点，再过作抛物线的切线分别交于点，记，的面积分别为，证明为定值．
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