2024高三·全国·专题练习
1 . 已知O为坐标原点，抛物线
，过点
的直线交抛物线于A，B两点，
．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点
，连接AD，BD，证明：
；
(3)已知圆G以G为圆心，1为半径，过A作圆G的两条切线，与y轴分别交于点M，N且M，N位于x轴两侧，求
面积的最小值．
，过点的直线交抛物线于A，B两点，．(1)求抛物线C的方程；
(2)若点
，连接AD，BD，证明：；(3)已知圆G以G为圆心，1为半径，过A作圆G的两条切线，与y轴分别交于点M，N且M，N位于x轴两侧，求
面积的最小值．
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2 . 已知抛物线
，直线
与抛物线
交于不同的两点
为坐标原点．
(1)若
，求证：直线过定点；
(2)若直线的方程为
，且与
轴交于点
，是否存在以为圆心、2为半径的圆，使得过抛物线上任意一点
作圆的两条切线，与抛物线交于另外两点
时，总有直线
也与圆相切？若存在，求出此时
的值；若不存在，请说明理由．
，直线与抛物线交于不同的两点为坐标原点．(1)若
，求证：直线过定点；(2)若直线
的方程为，且与轴交于点，是否存在以为圆心、2为半径的圆，使得过抛物线上任意一点作圆的两条切线，与抛物线交于另外两点时，总有直线也与圆相切？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
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解题方法
3 . 已知抛物线
的焦点为F，过F且倾斜角为
的直线l与抛物线相交于A，B两点，
，过A，B两点分别作抛物线的切线，交于点Q．则下列结论正确的是（ ）
的焦点为F，过F且倾斜角为的直线l与抛物线相交于A，B两点，，过A，B两点分别作抛物线的切线，交于点Q．则下列结论正确的是（ ）A． |
B．若 ，P是抛物线上一动点，则 的最小值为 |
C． （O为坐标原点）的面积为 |
D． ，则 |
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4 . 已知动点
到点
的距离比到直线
的距离小2，设动点的轨迹为曲线
．
(1)求曲线的轨迹方程；
(2)已知点
，过点作直线与曲线交于
两点，连接
分别交于
两点．
①当直线
的斜率存在时，设直线的斜率为
，直线
的斜率为
，试判断
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
②求
面积的最小值．
到点的距离比到直线的距离小2，设动点的轨迹为曲线．(1)求曲线
的轨迹方程；(2)已知点
，过点作直线与曲线交于两点，连接分别交于两点．①当直线
的斜率存在时，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；②求
面积的最小值．
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5 . 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如
表示过点
的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
(1)若圆
是直线族
的包络曲线，求
满足的关系式；
(2)若点
不在直线族：
的任意一条直线上，求
的取值范围和直线族
的包络曲线；
(3)在（2）的条件下，过曲线上两点作曲线的切线
，其交点为.已知点
，若
三点不共线，探究
是否成立？请说明理由.
表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.(1)若圆
是直线族的包络曲线，求满足的关系式；(2)若点
不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线；(3)在（2）的条件下，过曲线
上两点作曲线的切线，其交点为.已知点，若三点不共线，探究是否成立？请说明理由.
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2024-04-12更新
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1306次组卷
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2卷引用：湖南省九校联盟2024届高三下学期第二次联考数学试题
2024·全国·模拟预测
解题方法
6 . 已知直线
与抛物线交于两点，且
．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)已知直线
与抛物线交于
两点（异于点），直线
与
交于点，直线
与
交于点，证明：直线
与轴交于定点．
与抛物线交于两点，且．(1)求抛物线
的标准方程；(2)已知直线
与抛物线交于两点（异于点），直线与交于点，直线与交于点，证明：直线与轴交于定点．
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7 . 已知抛物线E：
的焦点为F，过F的直线
交E于点
，
，E在B处的切线为
，过A作与平行的直线
，交E于另一点
，记与y轴的交点为D，则（ ）
的焦点为F，过F的直线交E于点，，E在B处的切线为，过A作与平行的直线，交E于另一点，记与y轴的交点为D，则（ ）A． | B． |
C． | D． 面积的最小值为16 |
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解题方法
8 . 已知椭圆
的上、下顶点分别为A，B，O为椭圆的中心，D是线段OB的中点．直线
，动点T到直线m的距离与T到点
的距离相等．设动点T的轨迹为
．
(1)求的方程；
(2)过点D作斜率为
的直线l，交
于M，N，直线
分别交于P，Q两点（P，Q均不同于点A），设直线的斜率为，求证：
是定值．
的上、下顶点分别为A，B，O为椭圆的中心，D是线段OB的中点．直线，动点T到直线m的距离与T到点的距离相等．设动点T的轨迹为．(1)求
的方程；(2)过点D作斜率为
的直线l，交于M，N，直线分别交于P，Q两点（P，Q均不同于点A），设直线的斜率为，求证：是定值．
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9 . 在平面直角坐标系中，点
在抛物线
上.
(1)求
的准线方程.(2)已知点
，
，
是的两条切线，
，
是切点，圆经过点
，，.①若
，求证：
；
②设圆在，处的切线的交点为
，求证：直线过定点.
附：若点
在圆
上，则圆在点处的切线方程为
.
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10 . 已知抛物线
，顶点为，过焦点的直线交抛物线于，两点．
(1)如图1所示，已知
|，求线段中点到
轴的距离；
(2)设点是线段上的动点，顶点关于点的对称点为，求四边形
面积的最小值；
(3)如图2所示，设
为抛物线上的一点，过作直线
，
交抛物线于，两点，过作直线
，
交抛物线于，两点，且
，
，设线段MN与线段的交点为
，求直线
斜率的取值范围．
，顶点为，过焦点的直线交抛物线于，两点． (1)如图1所示，已知
|，求线段中点到轴的距离；(2)设点
是线段上的动点，顶点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值；(3)如图2所示，设
为抛物线上的一点，过作直线，交抛物线于，两点，过作直线，交抛物线于，两点，且，，设线段MN与线段的交点为，求直线斜率的取值范围．
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2024-02-28更新
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719次组卷
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9卷引用：上海市建平中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题
上海市建平中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题（已下线）第三章 圆锥曲线的方程（压轴必刷30题7种题型专项训练）-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）3.3.1 抛物线及其标准方程（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年高二数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019选择性必修第一册）2024年全国普通高中九省联考仿真模拟数学试题（二）上海市宝山中学2023-2024学年高二上学期期终考试数学试题（已下线）第2章 圆锥曲线 单元综合检测（难点）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）（已下线）2.4.2 抛物线的性质(九大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）（已下线）题型24 5类圆锥曲线大题综合解题技巧江西省抚州市临川第二中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷
