1 . 已知抛物线上点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若（位于轴上方）为抛物线上异于原点的两点，直线的斜率分别为，且满足，过点作，垂足为，设点，求的取值范围.

2 . 如图，过顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线E上的点A（2，1）作斜率分别为k₁，k₂的直线，分别交抛物线E于B，C两点.

（1）求抛物线E的标准方程和准线方程；
（2）若k₁+k₂＝k₁k₂，证明：直线BC恒过定点.

3 . 如图，已知抛物线上一点到抛物线焦点F的距离为5．

（1）求抛物线的方程及实数a的值；
（2）过点M作抛物线的两条弦，，若，的斜率分别为，，且，求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标．

4 . 已知抛物线上横坐标为2的一点到焦点的距离为3.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设动直线交于、两点，为坐标原点， 直线OA，OB的斜率分别为，且，证明：直线l经过定点，求出定点的坐标.

5 . 如图，点为椭圆的左顶点，过的直线交抛物线于，两点，点是的中点．

（Ⅰ）若点在抛物线的准线上，求抛物线的标准方程：
（Ⅱ）若直线过点，且倾斜角和直线的倾斜角互补，交椭圆于，两点，
（i）证明：点的横坐标是定值，并求出该定值：
（ii）当的面积最大时，求的值．

6 . 已知抛物线的焦点是，直线的方程为，点.

（1）写出点的坐标和准线的方程；
（2）已知，若过的直线交抛物线于不同两点，，（均与不重合），直线，分别交直线于点，.设，的斜率分别为，.求证：为定值.

7 . 已知抛物线，过定点的动直线与该抛物线交于，.

（1）求，两点的纵坐标之积，并证明；
（2）过作的垂线交该抛物线于，.设线段、的中点分别为、两点.试问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

8 . 已知抛物线的图象经过点.

（1）求抛物线的方程和焦点坐标；
（2）直线交抛物线于，不同两点，且，位于轴两侧，过点，分别作抛物线的两条切线交于点，直线，与轴的交点分别记作，．记的面积为，面积为，面积为，试问是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

9 . 已知抛物线C的对称轴为x轴，点在抛物线C上，A，B是抛物线C上不同的两点，直线PA.PB的斜率为，，满足.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）证明：直线AB过定点；
（3）当点P到直线AB距离最大时，求的面积.

10 . 如图，已知为抛物线上一点，斜率分别为，的直线PA，PB分别交抛物线于点A，B（不与点P重合）.

（1）证明：直线AB的斜率为定值；
（2）若△ABP的内切圆半径为.
（i）求△ABP的周长（用k表示）；
（ii）求直线AB的方程.