1 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过点与轴垂直的直线与椭圆在第一象限交于点，且的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与轴正半轴交于点，与椭圆交于点，且轴，过点的另一直线与椭圆交于、两点，若，求所在的直线方程．

3 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P在椭圆E上，，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与椭圆E相交于A，B两点，与圆相交于C，D两点，求的取值范围．

4 . 已知长度为3的线段的两个端点分别在x轴和y轴上运动，动点P满足，记动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线与椭圆C交于E，F两点，O为坐标原点，若，求最大值，及取最大值时直线l的方程.

5 . 已知椭圆的长轴长为6，椭圆短轴的端点是，，且以为直径的圆经过点 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于两点．试问x轴上是否存在定点P，使PM平分 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

6 . 已知椭圆，由C的上、下顶点，左、右焦点构成一个边长为的正方形．
(1)求C的方程；
(2)直线l过C的右焦点F，且和C交于点A，B，设O是坐标原点，若三角形OAB的面积是，求l的方程．

7 . 已知椭圆C：，点E(－4，0)，过点E作斜率大于0的直线与椭圆C相切，切点为T.
(1)求点T的坐标；
(2)过线段ET的中点G作直线l交椭圆C于A，B两点，直线EA与椭圆C的另一个交点为M，直线EB与椭圆C的另一个交点为N，求证：；
(3)请结合（2）的问题解决，运用类比推理，猜想写出抛物线中与之对应的一个相关结论(无需证明).

9 . 为了给学生提供优雅的学习环境，某学校决定在夹角为30°的两条道路､之间建造一个半椭圆形状的小花园，如图所示，百米，O为AB的中点，OD为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形区域OMN，作为生物课学习植物的基地.其中M，N在椭圆上，且MN的倾斜角为45°，交OD于G.

(1)若百米，为了不破坏道路EF，求椭圆长半轴长的最大值；
(2)若椭圆的离心率为，当线段OG长为何值时，生物学习基地的面积最大？

10 . 已知椭圆的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)在圆上取一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为M，N，（PM与PN的斜率均存在），直线PM，PN分别与圆O相交于异于点P的A、B两点.
①求证：；
②求面积的取值范围.