1 . 已知是椭圆C：的一个焦点，点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线与椭圆C分别相交于A，B两点，且 (O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围．

2 . 已知椭圆C：的焦距为，长轴长为4．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）如图，过坐标原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C交于A，B两点．设，，直线的方程为，试求m的值．

3 . 如图，圆与轴切于点，与轴正半轴交于两点.点在点的下方，且.

（1）求圆的方程；
（2）过点作一条直线与椭圆相交于两点，连接，求证：.

4 . 已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求C的方程；
（2）设过点的直线l与C相交于A、B两点（点A在点P和点B之间），若，求的取值范围.

5 . 已知椭圆的离心率为，顺次连接椭圆的四个顶点，所得到的四边形面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设不垂直于坐标轴的直线与相交于两个不同的点，且直线的斜率成等比数列，求线段的中点的轨迹方程.

6 . 已知椭圆离心率为，四个顶点构成的四边形的面积是4.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线与椭圆C交于P，Q均在第一象限，直线OP，OQ的斜率分别为，，且（其中O为坐标原点）.证明：直线l的斜率k为定值.

7 . 已知椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，图象经过点A（2，0）和点B（0，）过F₂与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为PQ的中点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点，且MN⊥PQ于N，求直线PQ的方程．

8 . 在直角坐标系中，已知椭圆：的离心率是，斜率不为0的直线：与相交于、两点，与轴相交于点.
（1）若、分别是的左、右焦点，当经过且时，求的值；
（2）试探究，是否存在点，使得？若存在，请写出满足条件的、的关系式；若不存在，说明理由.

9 . 椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，已知其短半轴长为1，半焦距为1，直线.
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最小，最小距离是多少？

10 . 已知椭圆：的离心率，过椭圆的左焦点且倾斜角为的直线与圆相交所得弦长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在过点的直线与椭圆交于两点，且，若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由．