2 . 已知为椭圆的右焦点，分别为其左、右顶点，过点作直线与椭圆交于两点（不与重合），记直线的斜率分别为
(1)证明：为定值
(2)若线段的中点为，过点做垂直于的直线交轴于点，试求的取值范围

3 . 动点P到定点的距离和它到直线l：的距离的比是常数，设点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)已知O为坐标原点，与x轴不垂直的直线l与曲线C交于A，B两点，若曲线C上存在点P，使得四边形为平行四边形，证明：的面积为定值.

4 . 如图，已知椭圆，的左右焦点是双曲线的左右顶点，的离心率为．点在上（异于两点），过点和分别作直线交椭圆于和点．

(1)求证：为定值；
(2)求证：为定值．

5 . 已知椭圆的离心率为，焦距为，过的左焦点的直线与相交于、两点，与直线相交于点．
(1)若，求证：；
(2)过点作直线的垂线与相交于、两点，与直线相交于点．求的最大值．

6 . 如图：椭圆，坐标原点O，椭圆右焦点F，直线l（l斜率存在且不为零）过点F与椭圆交于A，B，中点为M，直线与椭圆交于C，D，

(1)证明：斜率与斜率之积为定值；
(2)若四边形面积为，求l的斜率．

7 . 已知椭圆：的离心率为，直线：与椭圆相交于，两点，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线：与椭圆相交于，两点，求证：，，，四点在同一个圆上．

8 . 已知在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过焦点的直线与椭圆交于两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)从下面两个条件中任选其一作为已知，证明另一个成立：
①；②直线的斜率满足：.

9 . 已知点是椭圆的左顶点，椭圆的离心率为，
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率为的直线交椭圆于两点，点在椭圆上，，且，证明：.

10 . 已知点是抛物线：的准线上的任意一点，过点作的两条切线，，其中、为切点．
（1）证明：直线过定点，并求出定点坐标；
（2）若直线交椭圆：于，两点，求的最小值．