1 . 已知椭圆E：过点，且焦距为.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N.
①证明：直线MN必过定点；
②若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值.

2 . 已知椭圆的右焦点为F，短轴长等于焦距，且经过点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线与E交于A，B两点，线段AB的中点为C，D是y轴上一点，且，求证：线段CD的中点在x轴上．

3 . 已知椭圆经过点和．
(1)求的方程；
(2)若点（异于点）是上不同的两点，且，证明直线过定点，并求该定点的坐标．

4 . 已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)M为椭圆的左顶点，直线与椭圆交于两点，若，求证：直线过定点．

5 . 已知椭圆过点，且焦距为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的弦，设弦的中点分别为.证明：直线必过定点.

6 . 已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点.

7 . 已知点，是椭圆的两个焦点，椭圆上的任意一点P使得，且的最大值为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线l与椭圆C交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点．求证直线l过定点，并求出该定点的坐标．

8 . 已知椭圆的离心率为，椭圆上一动点与左､右焦点构成的三角形面积最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.
①求证：直线恒过定点；
②设和的面积分别为，求的最大值.

9 . 已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为,左右焦点为,点为椭圆上异于的动点，且的面积最大值为.
(1)求椭圆的方程及的值；（、分别指直线的斜率）
(2)设动直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且.
①求证：直线过定点；
②设的面积分别为，求的取值范围.

10 . 已知椭圆：的左焦点为，斜率为1的直线交椭圆于、两点，的中点坐标为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆上在第一象限有一点的横坐标为，点、是椭圆上异于点的不重合的两点，且，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.