1 . 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且的面积为（为坐标原点）．
(1)求抛物线的方程；
(2)直线与抛物线交于两点，若以为直径的圆经过点，求直线的方程．

2 . 如图，椭圆：的离心率是，短轴长为，椭圆的左、右顶点分别为、，过椭圆与抛物线的公共焦点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，点为的中点．

(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)记的面积为，的面积为，若，求直线在轴上截距的范围．

3 . 在平面直角坐标系中，已知抛物线C：，经过的直线与C交于A，B两点.
(1)若，求AP长度的最小值：
(2)过焦点F的直线交抛物线C于A、B两点，若，求的面积.

4 . 设抛物线C：（）的焦点为F，抛物线C上一点A的横坐标为，过点A作抛物线C的切线，与x轴交于点D，与y轴交于点E，与直线l：交于点M.当时，.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若B为y轴左侧抛物线C上一点，过B作抛物线C的切线，与直线交于点P，与直线l交于点N，求面积的最小值，并求取到最小值时的值.

5 . 在直角坐标系xOy中，已知点，，直线AD，BD交于D，且它们的斜率满足：．
(1)求点D的轨迹C的方程；
(2)设过点的直线l交曲线C于P，Q两点，直线OP与OQ分别交直线 于点M，N，是否存在常数，使，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

6 . 已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB长的最小值为4．
(1)求抛物线C的方程．
(2)在抛物线C上是否存在点M，使得是以M为直角顶点的等腰直角三角形，且其面积为16？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

7 . 已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与y轴、抛物线C相交于P，A，自下而上，记△、△的面积分别为、．

(1)求AB中点M到y轴距离d的取值范围；
(2)求的取值范围．

8 . 设是坐标原点，是抛物线的焦点，是该抛物线上的任意一点，当与轴正方向的夹角为时，．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知，设是该抛物线上的任意一点，是轴上的两个动点，且，，当计取得最大值时，求的面积．

9 . 如图，已知抛物线，过它的焦点F的直线与其相交于A，B两点，O为坐标原点.

(1)若抛物线过点，求它的方程；
(2)在（1）的条件下，若直线的斜率为1，求的面积；
(3)，求的值.

10 . 已知抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合，过点作倾斜角为的直线与抛物线交于两点.
(1)求抛物线方程；
(2)若为坐标原点，求的面积.