1 . 已知点，，动点满足．记点的轨迹为曲线．
（1）求的方程；
（2）设为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别是，．证明：直线过定点．

2 . 已知抛物线的焦点为坐标原点，是抛物线C上异于O的两点.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线的斜率之积为，求证：直线过定点，并求出定点坐标.

3 . 已知抛物线过点，
（1）求物线的方程；
（2）为坐标原点，A､B为抛物线C上异于原点的不同两点，直线的斜率分别为，若，求证：直线过定点.

4 . 已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，过抛物线的准线上一点作抛物线的两条切线，切点为，.

（1）求证：直线过焦点；
（2）若，，求的值.

5 . 已知抛物线过点
（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标与准线方程；
（2）直线与抛物线交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线，交于，两点，其中为坐标原点.若为线段的中点，求证：直线恒过定点.

6 . 已知抛物线的顶点为原点，其焦点关于直线的对称点为，且.若点为的准线上的任意一点，过点作的两条切线，其中为切点.
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：直线恒过定点，并求面积的最小值.

7 . 已知曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离少1，动点在直线上，过点作曲线的两条切线，其中为切点.
（1）求曲线的方程；
（2）判断直线是否能恒过定点？若能，求定点坐标；若不能，说明理由.

8 . 在平面直角坐标系中，抛物线方程为，其顶点到焦点的距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）若点，设直线与抛物线交于、两点，且直线、的斜率之和为，试证明：对于任意非零实数，直线必过定点.

9 . 设两点在抛物线上，是AB的垂直平分线，
（1）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
（2）若，弦AB是否过定点，若过定点，求出该定点，若不过定点，说明理由.

10 . 已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)直线与抛物线交于，两点，若（为坐标原点），则直线是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由.