解题方法
1 . 如图所示数阵，第
行共有
个数，第m行的第1个数为
，第2个数为
，第
个数为
.规定：
.
(2)求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数；
(3)从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列
，设数列的前n项和为
是否存在正整数k，使得对任意正整数n，
恒成立？如存在，请求出k的最大值，如不存在，请说明理由.
行共有个数，第m行的第1个数为，第2个数为，第个数为.规定：.
(2)求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数；
(3)从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列
，设数列的前n项和为是否存在正整数k，使得对任意正整数n，恒成立？如存在，请求出k的最大值，如不存在，请说明理由.
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2024-05-14更新
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944次组卷
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2卷引用：江苏省苏锡常镇四市2024届高三教学情况调研（二）数学试题
2 . 十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为
，2表示为
，3表示为
，5表示为
，发现若
可表示为二进制表达式
，则
，其中
，
或
．
(1)记
，求证：
；
(2)记
为整数
的二进制表达式中的0的个数，如
，
．
（ⅰ）求
；
（ⅱ）求
（用数字作答）．
，2表示为，3表示为，5表示为，发现若可表示为二进制表达式，则，其中，或．(1)记
，求证：；(2)记
为整数的二进制表达式中的0的个数，如，．（ⅰ）求
；（ⅱ）求
（用数字作答）．
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3 . 已知
.
(1)求
的值；
(2)①证明：
，其中
，
，
，…，
；
②利用①的结论求
的值.
.(1)求
的值；(2)①证明：
，其中，，，…，；②利用①的结论求
的值.
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解题方法
4 . 若函数
的定义域、值域都是有限集合
，
，则定义为集合A上的有限完整函数.已知
是定义在有限集合
上的有限完整函数.
(1)求
的最大值；
(2)当
时，均有
，求满足条件的的个数；
(3)对于集合M上的有限完整函数，定义“闭环函数”如下：
，对
，且
，
.若
，
，
，则称为“m阶闭环函数”.证明：存在一个闭环函数既是3阶闭环函数，也是4阶闭环函数（用列表法表示的函数关系）.
的定义域、值域都是有限集合，，则定义为集合A上的有限完整函数.已知是定义在有限集合上的有限完整函数.(1)求
的最大值；(2)当
时，均有，求满足条件的的个数；(3)对于集合M上的有限完整函数
，定义“闭环函数”如下：，对，且，.若，，，则称为“m阶闭环函数”.证明：存在一个闭环函数既是3阶闭环函数，也是4阶闭环函数（用列表法表示的函数关系）.
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5 . 十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为
，2表示为
，3表示为
，5表示为
，发现若
可表示为二进制表达式，则，其中，或1（
）.
(1)记
，求证：
；
(2)记
为整数的二进制表达式中的0的个数，如
，
.
（ⅰ）求
；
（ⅱ）求
（用数字作答）.
，2表示为，3表示为，5表示为，发现若可表示为二进制表达式，则，其中，或1（）.(1)记
，求证：；(2)记
为整数的二进制表达式中的0的个数，如，.（ⅰ）求
；（ⅱ）求
（用数字作答）.
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2024-03-01更新
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2413次组卷
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4卷引用：东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2023-2024学年高三下学期第一次联合模拟考数学试题
6 . 规定
，其中
，m是正整数，且
，这是组合数
（n，m是正整数，且
）的一种推广．
(1)求
的值．
(2)组合数的两个性质：①
；②
是否都能推广到
（，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；
(3)已知组合数是正整数，证明：当
，m是正整数时，
．
，其中，m是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广．(1)求
的值．(2)组合数的两个性质：①
；②是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；(3)已知组合数
是正整数，证明：当，m是正整数时，．
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2022-11-09更新
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988次组卷
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13卷引用：2002年普通高等学校招生考试数学（理）试题（上海卷）
2002年普通高等学校招生考试数学（理）试题（上海卷）沪教版(2020) 一轮复习 堂堂清 第九单元 9.2 排列与组合（已下线）6.2.3-6.2.4 组合 组合数（练习）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）上海市曹杨中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题（已下线）专题04 分类讨论型【讲】【通用版】（已下线）第六章 计数原理（压轴题专练）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）专题01 两个计数原理与排列组合（7类压轴题型）-【常考压轴题】2023-2024学年高二数学压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）第六章 计数原理（压轴题专练）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第二册）上海市进才中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题上海市位育中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷上海市奉贤中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷（已下线）模块五 专题5 全真拔高模拟5（已下线）专题03 计数原理（6大考点经典基础练+优选提升练）-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学下学期期末真题分类汇编（新高考专用）
名校
解题方法
7 . 已知
，
．记
．
（1）求
的值；
（2）化简
的表达式，并证明：对任意的，都能被
整除．
，．记．（1）求
的值；（2）化简
的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．
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2020-03-17更新
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2066次组卷
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16卷引用：江苏省南通、徐州、扬州等六市2018届高三第二次调研（二模）测试数学（文理）试题
江苏省南通、徐州、扬州等六市2018届高三第二次调研（二模）测试数学（文理）试题河北省定州中学2018届高三下学期第一次月考数学试题2江苏省邗江中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试题（已下线）2017-2018学年度下学期高二数学期末备考总动员C卷理科01专题11.2 二项式定理（练）-江苏版《2020年高考一轮复习讲练测》2020届江苏省南通市四校联盟高三数学模拟试题2020届江苏省金陵中学、丹阳高级中学、无锡一中高三下学期期初联考数学试题2020届江苏省南京师范大学附中高三下学期第一次模拟考试数学试题（已下线）专题21 计数原理与二项式定理-2021年高考数学二轮优化提升专题训练（新高考地区专用）【学科网名师堂】（已下线）专题8.2 二项式定理的应用-备战2021年高考数学精选考点专项突破题集（新高考地区）（已下线）考点突破16 计数原理-备战2022年高考数学一轮复习培优提升精炼（新高考地区专用）（已下线）第05章：排列组合及二项式定理（B卷提升篇）-2020-2021学年高二数学下学期同步单元AB卷（苏教版）（已下线）考点66 二项式定理-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（新高考地区专用）【学科网名师堂】（已下线）第66讲 二项式定理（已下线）专题16 计数原理（2）（已下线）专题6.8 计数原理全章综合测试卷（提高篇）-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）
8 . （1）证明：
；
（2）计算：
；
（3）计算：
.
；（2）计算：
；（3）计算：
.
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2020-05-13更新
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710次组卷
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3卷引用：2020届江苏省扬州市高三下学期5月调研测试数学试题
9 . 已知
.
（1）当
时，求
的展开式中含
项的系数；
（2）证明：的展开式中含
项的系数为
.
.（1）当
时，求的展开式中含项的系数；（2）证明：
的展开式中含项的系数为.
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2020-04-25更新
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625次组卷
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4卷引用：江苏省南通市启东市2018-2019学年高二下学期期末数学(Ⅱ)试题
10 . 设
，
，其中
．
（1）当
时，求
的值；
（2）对
，证明：
恒为定值．
，，其中．（1）当
时，求的值；（2）对
，证明：恒为定值．
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2018-06-16更新
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1025次组卷
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5卷引用：【全国百强校】江苏省海安高级中学2017-2018学年高二6月月考数学（理）试题
【全国百强校】江苏省海安高级中学2017-2018学年高二6月月考数学（理）试题2020届江苏省南通市高三下学期3月开学考试数学试题2020届江苏省苏州市吴中区高三高考模拟数学试题江苏省扬州市江都区大桥高级中学2020届高三下学期学情调研(二)数学试题（已下线）热点11 计数原理-2022年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）
