1 . 在一条只能沿单向行驶的高速公路上，共有个服务区.现有一辆车从第个服务区向第1个服务区行驶，且当它从第个服务区开出后，将等可能地停靠在第个服务区，直到它抵达第1个服务区为止，记随机变量为这辆车全程一共进入的服务区总数.
(1)求的分布列及期望；
(2)证明：是等差数列.

2 . 一枚棋子在数轴上可以左右移动，移动的方式以投掷一个均匀的骰子来决定，规则如下：当所掷点数为1点时，棋子不动；当所掷点数为3或5时，棋子在数轴上向左(数轴的负方向)移动“该点数减1”个单位；当所掷的点数为偶数时，棋子在数轴上向右(数轴的正方向)移动“该点数的一半”个单位；第一次投骰子时，棋子以坐标原点为起点，第二次开始，棋子以前一次棋子所在位置为该次的起点．
(1)投掷骰子一次，求棋子的坐标的分布列和数学期望；
(2)投掷骰子两次，求棋子的坐标为的概率；
(3)投掷股子两次，在所掷两次点数和为奇数的条件下，求棋子的坐标为正的概率．

3 . 某校为了丰富课余活动，同时训练学生的逻辑思维能力，在高中三个年级举办中国象棋盲棋比赛，经过各年级初赛，高一、高二、高三分别有3人，4人，5人进入决赛，决赛采取单循环方式，即每名队员与其他队员都要进行1场比赛（每场比赛都采取5局3胜制，初赛、决赛的赛制相同，记分方式相同），最后根据积分选出冠军，积分规则如下：比赛中以3∶0或3∶1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以3∶2取胜的队员积2分，失败的队员积1分．
(1)从进入决赛的12人中随机抽取2人进行表演赛，这2人恰好来自不同年级的概率是多少？
(2)初赛时，高三甲、乙两同学对局，设每局比赛甲取胜的概率均为，记甲以取胜的概率为，当最大时，甲处于最佳竞技状态．在决赛阶段甲、乙对局，而且甲的竞技状态最好，求甲所得积分的分布列及期望．

9 . 某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为和，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.
(1)若，用表示团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求的均值；
(2)记团队第位成员上场且闯过第二关的概率为，集合中元素的最小值为，规定团队人数，求.

10 . 已知甲、乙两个小组参加某项知识竞赛的初赛．初赛分两轮，甲小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，乙小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，．初赛中两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格．整个竞赛中各个小组所有轮次比赛的结果互不影响．
(1)设获得决赛资格的小组总数为，求的分布列与数学期望；
(2)已知甲、乙两个小组经过初赛都获得了决赛资格，决赛以抢答题形式进行．甲、乙两小组对某道题进行抢答，抢到的概率分别是，，答对的概率分别是他们各自获得决赛资格的概率．求该题被抢答正确的概率．