2024高三·全国·专题练习
1 . 类比勾股定理“在中,,则”可以得到什么结论?
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2 . 类比性质“正三角形内一点到各边的距离之和为定值”,在立体几何中可以得到什么结论?
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3 . 求证:正四面体内任意一点到各个面的距离之和为定值.
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2024高三·全国·专题练习
4 . 如图,在平面几何中,有如下命题“正三角形的高为,O是内任意一点, O到三边的距离分别为,则为定值;当O是的中心时,O到各边的距离均为”.
证明如下:设正三角形边长为a,高h,O到三边的距离分别,
则:,即:,
化简得,,
(定值).
若O是中心,则,即:正三角形中心到各边的距离均为.
类比此命题及证明方法,在立体几何中,请写出高为h的正四面体(下图)相应的命题,并证明你的结论.
证明如下:设正三角形边长为a,高h,O到三边的距离分别,
则:,即:,
化简得,,
(定值).
若O是中心,则,即:正三角形中心到各边的距离均为.
类比此命题及证明方法,在立体几何中,请写出高为h的正四面体(下图)相应的命题,并证明你的结论.
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23-24高二上·广东中山·期末
5 . 类比平面解析几何的观点,在空间中,空间平面和曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹,在空间直角坐标系中,空间平面和曲面的方程是一个三元方程.
(1)类比平面解析几何中直线的方程,直接写出:
①过点,法向量为的平面的方程;
②平面的一般方程;
③在x,y,z轴上的截距分别为a,b,c的平面的截距式方程();(不需要说明理由)
(2)设为空间中的两个定点,,我们将曲面定义为满足的动点P的轨迹,试建立一个适当的空间直角坐标系,并推导出曲面的方程.
(1)类比平面解析几何中直线的方程,直接写出:
①过点,法向量为的平面的方程;
②平面的一般方程;
③在x,y,z轴上的截距分别为a,b,c的平面的截距式方程();(不需要说明理由)
(2)设为空间中的两个定点,,我们将曲面定义为满足的动点P的轨迹,试建立一个适当的空间直角坐标系,并推导出曲面的方程.
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23-24高二上·广东肇庆·阶段练习
名校
6 . 在平面直角坐标系中,已知直线在轴上的截距为,在轴上的截距为,且,则直线的截距式方程为;类似的,在空间直角坐标系中,若平面与轴、轴、轴的交点分别为,,,且,则平面的截距式方程为________ .
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名校
解题方法
7 . 《易经》中的“太极生两仪,两仪生四象,四象生八卦”充分体现了中国古典哲学与现代数学的关系,从直角坐标系中的原点,到数轴中的两个半轴(正半轴和负半轴),进而到平面直角坐标系中的四个象限和空间直角坐标系中的八个卦限,是由简单到繁复的变化过程.现将平面向量的运算推广到维向量,用有序数组表示维向量,已知维向量,,则( )
A. | B. |
C. | D.存在使得 |
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2023-03-26更新
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1469次组卷
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5卷引用:辽宁省沈阳市东北育才学校2022-2023学年高三下学期高考适应性测试(三)数学试题
22-23高二上·浙江台州·期末
解题方法
8 . 我们知道,在平面中,给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.如点在直线l上,为直线l的一个方向向量,则直线l上任意一点满足:,化简可得,即为直线l的方程.类似地,在空间中,给定一点和一个平面的法向量可以唯一确定一个平面.
(1)若在空间直角坐标系中,,请利用平面的法向量求出平面的方程;
(2)试写出平面(A,B,C不同时为0)的一个法向量(无需证明),并证明点到平面的距离为.
(1)若在空间直角坐标系中,,请利用平面的法向量求出平面的方程;
(2)试写出平面(A,B,C不同时为0)的一个法向量(无需证明),并证明点到平面的距离为.
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21-22高二上·上海金山·期末
名校
9 . 在平面直角坐标系中,直线的一般式方程为不全为,类似地,在空间直角坐标系中,平面的一般式方程为不全为,则以坐标原点为球心,且与平面相切的球的表面积为__ .
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22-23高二上·上海嘉定·阶段练习
10 . 类比于平面三角形中的余弦定理,我们得到三维空间中的三面角余弦定理;如图1,由射线PA、PB、PC构成的三面角,,,,二面角的大小为,则.
(1)四棱柱,平面平面ABCD,,,求的余弦值;
(2)当、时,证明以上三面角余弦定理;
(3)如图3,斜三棱柱中侧面,,的面积分别为,,,各侧面所对面所对应的三个二面角分别记为,,,请用文字和符号语言描述你能够得到的正弦定理在三维空间中推广的结论,并证明.
(1)四棱柱,平面平面ABCD,,,求的余弦值;
(2)当、时,证明以上三面角余弦定理;
(3)如图3,斜三棱柱中侧面,,的面积分别为,,,各侧面所对面所对应的三个二面角分别记为,,,请用文字和符号语言描述你能够得到的正弦定理在三维空间中推广的结论,并证明.
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