1 . 已知
是各项均为正整数的无穷递增数列，对于
，定义集合
，设
为集合
中的元素个数，若
时，规定
.
(1)若
，写出
及
的值；
(2)若数列
是等差数列，求数列的通项公式；
(3)设集合
，求证：
且
.
是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定.(1)若
，写出及的值；(2)若数列
是等差数列，求数列的通项公式；(3)设集合
，求证：且.
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2024-01-21更新
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1294次组卷
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6卷引用：2024年高考数学二轮复习测试卷（北京专用）
（已下线）2024年高考数学二轮复习测试卷（北京专用）北京市朝阳区2024届高三上学期期末数学试题（已下线）专题1 集合新定义题(九省联考第19题模式）讲（已下线）黄金卷01（2024新题型）（已下线）微考点4-1 新高考新试卷结构压轴题新定义数列试题分类汇编广东省江门市开平市忠源纪念中学2024届高三下学期高考冲刺考试（一）数学试卷
名校
解题方法
2 . 已知等比数列
的公比为q（
），其所有项构成集合A，等差数列
的公差为d（
），其所有项构成集合B．令
，集合C中的所有元素按从小到大排列构成首项为1的数列
．
(1)若集合
，写出一组符合题意的数列和；
(2)若
，数列为无穷数列，
，且数列的前5项成公比为p的等比数列．当
时，求p的值；
(3)若数列是首项为1的无穷数列，求证：“存在无穷数列，使
”的充要条件是“d是正有理数”．
的公比为q（），其所有项构成集合A，等差数列的公差为d（），其所有项构成集合B．令，集合C中的所有元素按从小到大排列构成首项为1的数列．(1)若集合
，写出一组符合题意的数列和；(2)若
，数列为无穷数列，，且数列的前5项成公比为p的等比数列．当时，求p的值；(3)若数列
是首项为1的无穷数列，求证：“存在无穷数列，使”的充要条件是“d是正有理数”．
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2023-04-25更新
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1579次组卷
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3卷引用：北京卷专题18数列（解答题）
名校
3 . 已知
为有穷数列.若对任意的
，都有
（规定
），则称
具有性质
.设
(1)判断数列
，
是否具有性质？若具有性质，写出对应的集合
；
(2)若
具有性质，证明：
为有穷数列.若对任意的，都有（规定），则称具有性质.设(1)判断数列
，是否具有性质？若具有性质，写出对应的集合；(2)若
具有性质，证明：
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4 . 有限数列：
，
，…，
．（
）同时满足下列两个条件：
①对于任意的
，
（
），
；
②对于任意的，，
（
），
，
，
，三个数中至少有一个数是数列中的项．
(1)若
，且
，
，
，
，求
的值；
(2)证明：
，
，
不可能是数列中的项；
(3)求
的最大值．
：，，…，．（）同时满足下列两个条件：①对于任意的
，（），；②对于任意的
，，（），，，，三个数中至少有一个数是数列中的项．(1)若
，且，，，，求的值；(2)证明：
，，不可能是数列中的项；(3)求
的最大值．
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2021-11-19更新
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1224次组卷
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10卷引用：北京卷专题18数列（解答题）
北京卷专题18数列（解答题）2015届北京市海淀区高三下学期期中练习（一模）理科数学试卷北京市北京师范大学第二附属中学2019-2020学年高二上学期期中数学试卷北京市第五十七中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题（已下线）北京市第四中学2022届高三下学期（三模）保温练习数学试题（已下线）北京市第四中学2023届高三数学保温测试试题北京市十一学校2022届高三下学期2月诊断数学试题北京市第八中学2024届高三上学期10月练习数学试题北京市汇文中学教育集团2023-2024学年高三下学期开学考数学试题重庆市缙云教育联盟2022届高三上学期第O次诊断性检测数学试题
5 . 对于正整数集合
（
，），如果去掉其中任意一个元素
（
）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合
为“和谐集”．
（Ⅰ）判断集合
是否是“和谐集”（不必写过程）；
（Ⅱ）求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数；
（Ⅲ）若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值．
（，），如果去掉其中任意一个元素（）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”．（Ⅰ）判断集合
是否是“和谐集”（不必写过程）；（Ⅱ）求证：若集合
是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数；（Ⅲ）若集合
是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值．
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名校
6 . 若无穷数列满足：是正实数，当
时，
，则称是“Y﹣数列”．
（Ⅰ）若是“Y﹣数列”且，写出
的所有可能值；
（Ⅱ）设是“Y﹣数列”，证明：是等差数列当且仅当单调递减；是等比数列当且仅当单调递增；
（Ⅲ）若是“Y﹣数列”且是周期数列（即存在正整数T，使得对任意正整数n，都有
），求集合
的元素个数的所有可能值的个数．
满足：是正实数，当时，，则称是“Y﹣数列”．（Ⅰ）若
是“Y﹣数列”且，写出的所有可能值；（Ⅱ）设
是“Y﹣数列”，证明：是等差数列当且仅当单调递减；是等比数列当且仅当单调递增；（Ⅲ）若
是“Y﹣数列”且是周期数列（即存在正整数T，使得对任意正整数n，都有），求集合的元素个数的所有可能值的个数．
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2020-07-25更新
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881次组卷
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5卷引用：专题21 数列的综合应用-2020年高考数学母题题源解密（北京专版）
（已下线）专题21 数列的综合应用-2020年高考数学母题题源解密（北京专版）（已下线）卷03-【赢在高考·黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷（北京专用）2019届北京市中国人民大学附属中学高三考前热身练习数学（理）试题北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身试题北京十一学校2022届高三10月月考数学试题
解题方法
7 . 用
表示一个小于或等于
的最大整数.如：
，
，
. 已知实数列
、、
对于所有非负整数满足
，其中是任意一个非零实数.
（Ⅰ）若
，写出、、
；
（Ⅱ）若
，求数列
的最小值；
（Ⅲ）证明：存在非负整数，使得当
时，
.
表示一个小于或等于的最大整数.如：，，. 已知实数列、、对于所有非负整数满足，其中是任意一个非零实数.（Ⅰ）若
，写出、、；（Ⅱ）若
，求数列的最小值；（Ⅲ）证明：存在非负整数
，使得当时，.
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名校
8 . 已知集合
是集合
的一个含有
个元素的子集.
（Ⅰ）当
时,
设
（i）写出方程
的解
；
（ii）若方程
至少有三组不同的解,写出的所有可能取值.
（Ⅱ）证明:对任意一个
,存在正整数
使得方程
至少有三组不同的解.
是集合的一个含有个元素的子集.（Ⅰ）当
时,设
（i）写出方程
的解；（ii）若方程
至少有三组不同的解,写出的所有可能取值.（Ⅱ）证明:对任意一个
,存在正整数使得方程至少有三组不同的解.
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2018-03-31更新
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1346次组卷
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6卷引用：北京市城六区2018届高三一模理科数学解答题分类汇编之压轴创新题
名校
9 . 对于维向量
，若对任意
均有
或
，则称为维
向量. 对于两个维向量
定义
.
（1）若
, 求
的值；
（2）现有一个维向量序列：
若
且满足：
，求证：该序列中不存在维向量
.
(3) 现有一个
维向量序列：若
且满足：
，若存在正整数使得
为维向量序列中的项，求出所有的
.
维向量，若对任意均有或，则称为维向量. 对于两个维向量定义.（1）若
, 求的值；（2）现有一个
维向量序列：若且满足：，求证：该序列中不存在维向量.(3) 现有一个
维向量序列：若且满足：，若存在正整数使得为维向量序列中的项，求出所有的.
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2017-05-04更新
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607次组卷
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5卷引用：卷02-【赢在高考·黄金20卷】备战2021年高考数学全真模拟卷（北京专用）
（已下线）卷02-【赢在高考·黄金20卷】备战2021年高考数学全真模拟卷（北京专用）北京市东城区2017届高三二模理科数学试题北京市东城区2017届高三5月综合练习（二模）数学理试题北京市东城区2017届高三5月综合练习（二模）理数试题（已下线）北京市第四中学2023~2024学年高二上学期期中考试数学试题
