1 . 若数列满足①，②存在常数与无关），使.则称数列是“和谐数列”.
（1）设为等比数列的前项和，且，求证：数列是“和谐数列”；
（2）设是各项为正数，公比为q的等比数列，是的前项和，求证：数列是“和谐数列”的充要条件为.

2 . 已知，试证明至少有一个不小于1．

3 . 设函数中，为奇数，均为整数，且均为奇数.求证：无整数根．

4 . 设函数的定义域为M，具有性质P：对任意，都有.
（1）若M为实数集R，是否存在函数 (a＞0且a≠1，) 具有性质P，并说明理由；
（2）若M为自然数集N，并满足对任意，都有. 记.
(ⅰ) 求证：对任意，都有且d(x)≥0；
(ⅱ) 求证：存在整数0≤c≤d(1)及无穷多个正整数n，满足d(n)＝c.

5 . 已知函数．
（1）证明：函数在上为增函数；
（2）用反证法证明：没有负数根．

6 . 已知各项均为正数的两个数列和满足：，，
（1）设，，求证：数列是等差数列；
（2）设，，且是等比数列，求和的值．