1 . 设，且，，，用反证法证明：至少有一个大于．

2 . （1）已知正数，满足，求证：；
（2）求证：，，不可能是一个等差数列中的三项.

3 . 已知数列的前项和满足，数列满足．
Ⅰ求数列和数列的通项公式；
Ⅱ令，若对于一切的正整数恒成立，求实数的取值范围；
Ⅲ数列中是否存在，且 使，，成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

4 . 已知函数为其定义域内的奇函数．
(1)求实数的值；
(2)求不等式的解集；
(3)证明：为无理数．

5 . （Ⅰ）求证：当时，；
（Ⅱ）证明： 不可能是同一个等差数列中的三项.

6 . 等差数列的前项和为．
（Ⅰ）求数列的通项与前项和；
（Ⅱ）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

7 . 设，，且.
证明：(1) ；
(2) 与不可能同时成立．

8 . 若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.
（1）若具有性质，且，，求；
（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由；
（3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.

9 . （1）求证：
（2）已知且，求证：中至少有一个小于2．

10 . 已知二次函数．
（1） 设集合．
①若，且，求的解析式；
②若，且，求在区间上的最大值．
（2） 设的图像与x轴有两个不同的交点，，，且当时，．用反证法证明：．