1 . 等差数列的前项和为．
（Ⅰ）求数列的通项与前项和；
（Ⅱ）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

2 . 设，，且.
证明：(1) ；
(2) 与不可能同时成立．

3 . 已知，，且，求证：与中至少有一个小于2．

4 . 已知各项均为正数的两个数列和满足：，，
（1）设，，求证：数列是等差数列；
（2）设，，且是等比数列，求和的值．

5 . 若无穷数列和无穷数列满足：存在正常数A，使得对任意的，均有，则称数列与具有关系．
（1）设无穷数列和均是等差数列，且，，问：数列与是否具有关系？说明理由；
（2）设无穷数列是首项为1，公比为的等比数列，，，证明：数列与具有关系，并求A的最小值；
（3）设无穷数列是首项为1，公差为的等差数列，无穷数列是首项为2，公比为的等比数列，试求数列与具有关系的充要条件．

6 . （1）已知，求证：．
（2）已知成等差数列，且公差，求证：不可能成等差数列．

7 . 已知数列的前项和满足，数列的前项和满足且.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前项和;
(3)数列中是否存在不同的三项，，，使这三项恰好构成等差数列?若存在，求出，，的关系；若不存在，请说明理由.

8 . 已知数列的前项和满足，数列满足．
Ⅰ求数列和数列的通项公式；
Ⅱ令，若对于一切的正整数恒成立，求实数的取值范围；
Ⅲ数列中是否存在，且 使，，成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

9 . 设，且，，，用反证法证明：至少有一个大于．

10 . 已知，试证明至少有一个不小于1．