1 . 定义两个
维向量
，
的数量积
，
，记
为
的第k个分量（
且
）.如三维向量
，其中
的第2分量
.若由维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素，
，满足
（T为常数）且
.则称A为T的完美n维向量集.
(1)求2的完美3维向量集；
(2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；
(3)若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和
.
维向量，的数量积，，记为的第k个分量（且）.如三维向量，其中的第2分量.若由维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素，，满足（T为常数）且.则称A为T的完美n维向量集.(1)求2的完美3维向量集；
(2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；
(3)若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和
.
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2024-04-23更新
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561次组卷
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2卷引用：2024届江西省九江市二模数学试题
2 . 设
.在
的方格表的每个小方格中填入区间
中的一个实数.设第
行的总和为
，第列的总和为
，
.求
的最大值（答案用含
的式子表示）.
.在的方格表的每个小方格中填入区间中的一个实数.设第行的总和为，第列的总和为，.求的最大值（答案用含的式子表示）.
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3 . 正整数称为“好数”，如果对任意不同于的正整数
，均有
，这里，
表示实数
的小数部分.证明：存在无穷多个两两互素的合数均为好数.
称为“好数”，如果对任意不同于的正整数，均有，这里，表示实数的小数部分.证明：存在无穷多个两两互素的合数均为好数.
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4 . 求具有下述性质的最小正整数
：若将
中的每个数任意染为红色或者蓝色，则或者存在9个互不相同的红色的数
满足
，或者存在10个互不相同的蓝色的数
满足
.
：若将中的每个数任意染为红色或者蓝色，则或者存在9个互不相同的红色的数满足，或者存在10个互不相同的蓝色的数满足.
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5 . 已知数列
是无穷数列，满足
.
（1）若
，
，求
，
，
的值；
（2）求证：“数列中存在
使得
”是“数列中有无数多项是1”的充要条件；
（3）求证：存在正整数k，使得
.
是无穷数列，满足.（1）若
，，求，，的值；（2）求证：“数列
中存在使得”是“数列中有无数多项是1”的充要条件；（3）求证：存在正整数k，使得
.
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2020-09-13更新
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1006次组卷
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3卷引用：2020届北京市中国人民大学附属中学高三上学期期中模拟统练（七）数学试题
2020届北京市中国人民大学附属中学高三上学期期中模拟统练（七）数学试题上海市复旦大学附属中学青浦分校2020届高三下学期开学摸底数学试题（已下线）专题15 数列不等式的证明 微点6 数列不等式的证明综合训练
6 . 若无穷数列和无穷数列
满足：存在正常数A，使得对任意的
，均有
，则称数列与具有关系
．
（1）设无穷数列和均是等差数列，且
，
，问：数列与是否具有关系
？说明理由；
（2）设无穷数列是首项为1，公比为
的等比数列，
，，证明：数列与具有关系，并求A的最小值；
（3）设无穷数列是首项为1，公差为
的等差数列，无穷数列是首项为2，公比为
的等比数列，试求数列与具有关系的充要条件．
和无穷数列满足：存在正常数A，使得对任意的，均有，则称数列与具有关系．（1）设无穷数列
和均是等差数列，且，，问：数列与是否具有关系？说明理由；（2）设无穷数列
是首项为1，公比为的等比数列，，，证明：数列与具有关系，并求A的最小值；（3）设无穷数列
是首项为1，公差为的等差数列，无穷数列是首项为2，公比为的等比数列，试求数列与具有关系的充要条件．
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2020-08-04更新
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696次组卷
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4卷引用：江苏省南京师范大附中2020届高三下学期6月高考模拟(1)数学试题
江苏省南京师范大附中2020届高三下学期6月高考模拟(1)数学试题上海市青浦区2021届高三上学期一模(期终学业质量调研)数学试题上海市青浦区2021届高三上学期一模数学试题（已下线）上海高二下学期期末真题精选（压轴60题35个考点专练）-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）
7 . 已知数列
满足：对任意的
，若
，则
，且
，设集合
，集合
中元素最小值记为
，集合中元素最大值记为
．
（1）对于数列：
，写出集合
及
；
（2）求证：不可能为18；
（3）求的最大值以及的最小值．
满足：对任意的，若，则，且，设集合，集合中元素最小值记为，集合中元素最大值记为．（1）对于数列：
，写出集合及；（2）求证：
不可能为18；（3）求
的最大值以及的最小值．
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名校
8 . 若无穷数列满足：
是正实数，当
时，
，则称是“Y﹣数列”．
（Ⅰ）若是“Y﹣数列”且
，写出的所有可能值；
（Ⅱ）设是“Y﹣数列”，证明：是等差数列当且仅当单调递减；是等比数列当且仅当单调递增；
（Ⅲ）若是“Y﹣数列”且是周期数列（即存在正整数T，使得对任意正整数n，都有
），求集合
的元素个数的所有可能值的个数．
满足：是正实数，当时，，则称是“Y﹣数列”．（Ⅰ）若
是“Y﹣数列”且，写出的所有可能值；（Ⅱ）设
是“Y﹣数列”，证明：是等差数列当且仅当单调递减；是等比数列当且仅当单调递增；（Ⅲ）若
是“Y﹣数列”且是周期数列（即存在正整数T，使得对任意正整数n，都有），求集合的元素个数的所有可能值的个数．
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2020-07-25更新
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872次组卷
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5卷引用：2019届北京市中国人民大学附属中学高三考前热身练习数学（理）试题
2019届北京市中国人民大学附属中学高三考前热身练习数学（理）试题北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身试题（已下线）专题21 数列的综合应用-2020年高考数学母题题源解密（北京专版）（已下线）卷03-【赢在高考·黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷（北京专用）北京十一学校2022届高三10月月考数学试题
2019·上海浦东新·三模
9 . 已知数列
是以
为公差的等差数列，数列
是以
为公比的等比数列.
（1）若数列的前项和为
，且
，
，求整数的值；
（2）若
，
，
，试问数列中是否存在一项
，使得恰好可以表示为该数列中连续
项的和？请说明理由；
（3）若
，
，
（其中
，且
是
的约数），求证：数列中每一项都是数列中的项.
是以为公差的等差数列，数列是以为公比的等比数列.（1）若数列
的前项和为，且，，求整数的值；（2）若
，，，试问数列中是否存在一项，使得恰好可以表示为该数列中连续项的和？请说明理由；（3）若
，，（其中，且是的约数），求证：数列中每一项都是数列中的项.
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名校
10 . 是定义在
上且满足如下条件的函数
组成的集合：
①对任意的
，都有
；
②存在常数
，使得对任意的
，都有
.
（1）设
，问是否属于？说明你的判断理由；
（2）若
，如果存在
，使得
，证明这样的
是唯一的；
（3）设
为正实数，是否存在函数
，使？作出你的判断，并说明理由.
是定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：①对任意的
，都有；②存在常数
，使得对任意的，都有.（1）设
，问是否属于？说明你的判断理由；（2）若
，如果存在，使得，证明这样的是唯一的；（3）设
为正实数，是否存在函数，使？作出你的判断，并说明理由.
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