1 . 若数列的前项和为，且满足等式.
（1）求数列的通项公式；
（2）能否在数列中找到这样的三项，它们按原来的顺序构成等差数列？说明理由；
（3）令，记函数的图像在轴上截得的线段长为，设，求，并证明：.

2 . 设正整数，集合，对于集合中的任意元素和，及实数，定义：当且仅当时；；.
若的子集满足：当且仅当时，，则称为的完美子集.
(1)当时，已知集合，.分别判断这两个集合是否为的完美子集，并说明理由；
(2)当时，已知集合.若不是的完美子集，求的值；
(3)已知集合，其中.若对任意都成立，判断是否一定为的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例.

3 . 设数列满足，，，设，.
（1）设，，若数列的前四项､､､满足，求；
（2）已知，，，当，，时，判断数列是否能成等差数列，请说明理由；
（3）设，，，求证：对一切的，，均有.

4 . 对，定义．
（1）求的最小值；
（2），有恒成立，求A的最大值；
（3）求证：不存在，且m＞n，使得为恒定常数．

5 . 在一张无限大的方格表上的每个方格中填有一个实数．已知任意一个由格线构成的正方形中的数之和的绝对值不超过1．证明：任意一个由格线构成的矩形中的数之和的绝对值不超过4．

6 . 已知一元二次方程的两个实根为，；
(1)若，，求的值；
(2)若，，用反证法证明，中至少有一个大于等于2；
(3)若，设，若，是方程的实根，求实数m的取值范围.

7 . 给定.若共取有限个不同值，证明：x，.

8 . 设为正整数，如果表达式同时满足下列性质，则称之为“交错和”.①，；②；③当时，（）；④规定：当时，也是“交错和”.
（1）请将7和10表示为“交错和”；
（2）若正整数可以表示为“交错和”，求证：；
（3）对于任意正整数，判断一共有几种“交错和”的表示方法，并证明你的结论.

9 . 对于函数，，如果存在一组正常数，，…，，（其中为正整数），满足）使得当取任意实数时，有，则称函数具有“性质”．
（1）判断以下函数是否具有“性质”，并说明理由：
①函数；②函数，对任意实数均成立；
（2）证明：具有性质；
（3）设函数，其中，，是不全为0的实数且存在，使得，证明：存在，使得．

10 . 已知实数，满足.
（1）求证：中至少有一个实数不小于1；
（2）若均为非零整数，求的最大值；
（3）设这五个实数两两不等，集合，若且，记是中所有元素之和，对所有的，求的平均值.