1 . 已知复数满足.
（1）求证：；
（2）若的虚部为正数，求，，，，根据的规律，求出的值（不需要证明）.

2 . 现新定义两个复数（、）和（、）之间的一个新运算，其运算法则为：.
（1）请证明新运算对于复数的加法满足分配律，即求证：；
（2）设运算为运算的逆运算，请推导运算的运算法则.

3 . 设，求证：
(1)、都是1的立方根；
(2)．

4 . 设是虚数，，且．
(1)求的值及的实部的取值范围；
(2)求证：是纯虚数；
(3)求的最小值．

5 . 在复平面内复数，所对应的点为，，为坐标原点，是虚数单位.
(1)，，计算与；
(2)设，，求证：，并指出向量，满足什么条件时该不等式取等号.

6 . 在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点.它们还有如下性质：
（1）
（2）（当时，为纯虚数）
（3）
（4）
（5）.
（6）两个复数和､差､积､商（分母非零）的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和､差､积､商.
请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题：
(1)设.求证：是实数；
(2)已知，求的值；
(3)设，其中是实数，当时，求的最大值和最小值.

8 . 设复数，其中、，且．求证：是纯虚数．

9 . 已知复数满足，且不是纯虚数．求证：是纯虚数．

10 . 在复平面内复数、所对应的点为、，为坐标原点，是虚数单位.
(1)， ，计算与；
(2)设，（、、，），求证：，并指出向量、满足什么条件时取等号.