【推荐1】已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，为椭圆上任意一点，的最大值为.当时，的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)、为椭圆的左、右顶点，点满足，当与、不重合时，射线交椭圆于点，直线、交于点，求的最大值.

【推荐2】已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当点在椭圆的图像上运动时，点在曲线上运动，求曲线的轨迹方程，并指出该曲线是什么图形；
（3）过椭圆上异于其顶点的任意一点作曲线的两条切线，切点分别为不在坐标轴上），若直线在轴，轴上的截距分别为试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【推荐3】已知椭圆的焦点在轴上，左右顶点分别是，以上的弦（异于）为直径作圆恰好过，设直线的斜率为.
（1）若，且的面积为，求的方程.
（2）若，求的取值范围.

【推荐1】如图，在椭圆中，过坐标原点作两条互相垂直的射线与分别交于两点.

(1)已知直线的斜率为，用表示线段的长度；
(2)过点作于点，点为椭圆上一动点，求线段长度的取值范围.

【推荐2】已知：如图，两同心圆：和．为大圆上一动点，连结（为坐标原点）交小圆于点，过点作轴垂线（垂足为），再过点作直线的垂线，垂足为．

(1)当点在大圆上运动时，求垂足的轨迹方程；
(2)过点的直线交垂足的轨迹于两点，若以为直径的圆与轴相切，求直线的方程．

【推荐3】设分别是椭圆的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于两点，到直线的距离为，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为，当最大时，求直线的方程.