【推荐1】已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程.
（2）设动直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于，两点.在轴上是否存在定点，使得恒成立.若存在，求点的坐标.若不存在，请说明理由.

【推荐2】如图，一个底面落在平面上的圆柱形水桶（高度不限），被一个与其底面所成角为的平面所截，在平面内的截面图形是一条圆锥曲线，若以圆锥曲线的中心为坐标原点，焦点所在直线为轴建立平面直角坐标系，且曲线上最远两点间的距离为8，，是平面内过点且互相垂直的两条直线，交E于，两点，交于，两点，线段，的中点分别为，.

(1)求在平面上的圆锥曲线的标准方程；
(2)求直线的斜率的取值范围；
(3)求的取值范围．

【推荐3】已知点A，B是椭圆的左，右顶点，椭圆E的短轴长为2，离心率为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)点O是坐标原点，直线l经过点，并且与椭圆E交于点M，N，直线与直线交于点T，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．

【推荐1】已知椭圆的离心率为，以短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆相交于两点，，设点关于坐标原点的对称点为，若点恒在以为直径的圆内部，求实数的取值范围．

【推荐2】已知椭圆的右焦点为，上、下顶点分别为、，以点为圆心，为半径作圆，与轴交于点．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点，点、为椭圆上异于点且关于原点对称的两点，直线、与轴分别交于点、，记以为直径的圆为⊙，试判断是否存在直线截⊙的弦长为定值，若存在请求出该直线的方程，若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知椭圆，右焦点为．过的直线交椭圆于点、两点，的中垂线交轴于点．
（1）若椭圆过点，且，求的值．
（2）对于任意给定的满足的椭圆，是否为定值，请说明理由．