【推荐1】设分别是椭圆：的左右焦点，椭圆上一点到两点距离和等于4.
(1)求出椭圆的方程和焦点坐标；
(2)设直线：与椭圆相交于两点，求的长.

【推荐2】已知椭圆，一组平行直线的斜率是.
(1)当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上；
(2)这组直线中经过椭圆上焦点的直线与椭圆交于两点，求.

【推荐3】如图，已知椭圆（）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点，为顶点的三角形的周长为，一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且它的实轴长等于虚轴长，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、，其中、在轴的同一侧．

（1）求椭圆和双曲线的标准方程；
（2）设直线、的斜率分别为、，证明；
（3）是否存在题设中的点，使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】定圆,动圆过点且与圆相切，记圆心的轨迹为.
（1）求轨迹 的方程；
（2）设点在上运动, 与关于原点对称，且,当的面积最小时, 求直线的方程.

【推荐2】已知椭圆的右焦点为，长半轴与短半轴的比值为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设经过右顶点A且斜率为1的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N.求的面积．

【推荐3】已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点O为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆O相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求椭圆C与直线y=kx（k＞0）在第一象限的交点为A．
①设，且，求k的值；
②若A与D关于x的轴对称，求AOD的面积的最大值．