近期,某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次,用表示活动推出的天数,表示每天使用扫码支付的人次(单位:十人次),统计数据如表1所示:
表一
根据以上数据,绘制了如下图所示的散点图.
(1)根据散点图判断,在推广期内,与(,均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由);
(2)根据(1)的判断结果及表1中的数据,求关于的回归方程,并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次;
(3)推广期结束后,车队对乘客的支付方式进行统计,结果如表2
表2
已知该线路公交车票价为2元,使用现金支付的乘客无优惠,使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠,扫码支付的乘客随机优惠,根据统计结果得知,使用扫码支付的乘客,享受7折优惠的概率为,享受8折优惠的概率为,享受9折优惠的概率为.根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,估计一名乘客一次乘车的平均费用.
参考数据:
其中,
参考公式:对于一组数据,,……,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,.
表一
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
6 | 11 | 21 | 34 | 66 | 101 | 196 |
根据以上数据,绘制了如下图所示的散点图.
(1)根据散点图判断,在推广期内,与(,均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由);
(2)根据(1)的判断结果及表1中的数据,求关于的回归方程,并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次;
(3)推广期结束后,车队对乘客的支付方式进行统计,结果如表2
表2
支付方式 | 现金 | 乘车卡 | 扫码 |
比例 | 10% | 60% | 30% |
已知该线路公交车票价为2元,使用现金支付的乘客无优惠,使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠,扫码支付的乘客随机优惠,根据统计结果得知,使用扫码支付的乘客,享受7折优惠的概率为,享受8折优惠的概率为,享受9折优惠的概率为.根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,估计一名乘客一次乘车的平均费用.
参考数据:
62.14 | 1.54 | 2535 | 50.12 | 3.47 |
其中,
参考公式:对于一组数据,,……,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,.
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更新时间:2019-09-30 12:27:04
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解题方法
【推荐1】一家物流公司的管理人员想研究货物的运送距离和运送时间的关系.为此,他抽取该公司最近10辆卡车的运货记录作为随机样本,得到如下数据:
(1)绘制运送距离和运送时间的散点图,判断二者之间的关系形态;
(2)计算相关系数,说明这两个变量之间的相关程度;
(3)利用最小二乘法求出这两个变量之间的回归直线方程.
运送距离x/km | 825 | 215 | 1070 | 550 | 480 | 920 | 1350 | 325 | 670 | 1215 |
运送时间y/天 | 3.5 | 1.0 | 4.0 | 2.0 | 1.0 | 3.0 | 4.5 | 1.5 | 3.0 | 5.0 |
(2)计算相关系数,说明这两个变量之间的相关程度;
(3)利用最小二乘法求出这两个变量之间的回归直线方程.
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解答题-作图题
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解题方法
【推荐2】下表数据是水的温度x(℃)对黄酮延长性y(%)效应的试验结果,y是以延长度计算的.
(1)画出散点图;
(2)指出x,y是否线性相关,若线性相关,求y关于x的回归方程;
(3)估计水的温度是1000 ℃时,黄酮延长性的情况.
x/℃ | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 | 800 |
y/% | 40 | 50 | 55 | 60 | 67 | 70 |
(2)指出x,y是否线性相关,若线性相关,求y关于x的回归方程;
(3)估计水的温度是1000 ℃时,黄酮延长性的情况.
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【推荐3】习近平总书记在十九大报告中指出,必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念,这将进一步推动新能源汽车产业的迅速发展.以下是近几年我国某新能源乘用车的年销售量数据及其散点图:
(1)某位同学根据以上数据和散点图,得出与的销售(万辆)两种回归模型①,②,请判断哪一种模型更适宜?(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立关于的回归方程,并预测2020年我国某新能源采用车的销售量(精确到0.1).
(3)我们可以用来刻画模型的拟合效果,越接近于1,表示回归的效果越好,现由散点图的样本点分布,也可以认为样本点集中在曲线的附近,用非线性回归模型求得关于的回归方程为,且.试与(2)中所求的回归模型比较,请用说明哪种模型的拟合效果更好.
附:最小二乘估计公式:,
参考数据(下面的,),,,,
年份 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
分年代码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
某新能源车年销量(万辆) | 1.5 | 5.9 | 17.7 | 32.9 | 55.6 |
(1)某位同学根据以上数据和散点图,得出与的销售(万辆)两种回归模型①,②,请判断哪一种模型更适宜?(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立关于的回归方程,并预测2020年我国某新能源采用车的销售量(精确到0.1).
(3)我们可以用来刻画模型的拟合效果,越接近于1,表示回归的效果越好,现由散点图的样本点分布,也可以认为样本点集中在曲线的附近,用非线性回归模型求得关于的回归方程为,且.试与(2)中所求的回归模型比较,请用说明哪种模型的拟合效果更好.
附:最小二乘估计公式:,
参考数据(下面的,),,,,
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名校
【推荐1】某名校从2008年到2017年考入清华、北大的人数可以通过以下表格反映出来.(为了方便计算,将2008年编号为1,2009年编号为2,以此类推……)
(1)根据最近5年的数据,利用最小二乘法求出与之间的线性回归方程,并用以预测2018年该校考入清华、北大的人数;(结果要求四舍五入至个位)
(2)从这10年的数据中随机抽取2年,记其中考入清华、北大的人数不少于的有年,
求的分布数列和数学期望.
参考公式:.
年份 | ||||||||||
人数 |
(2)从这10年的数据中随机抽取2年,记其中考入清华、北大的人数不少于的有年,
求的分布数列和数学期望.
参考公式:.
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解题方法
【推荐2】改革开放以来,我国经济持续高速增长.如图给出了我国2010年至2019年第二产业增加值与第一产业增加值的差值(以下简称为:产业差值)的折线图,记产业差值为(单位:万亿元).
注:年份代码1-10分别对应年份2010-2019.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:,.样本方差公式:.参考数据:,,.
(1)求出关于年份代码的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析2010-2019年我国产业差值的变化情况,并预测我国产业差值在哪一年约为34万亿元;
(3)结合折线图,试求出除去2014年产业差值后剩余的9年产业差值的平均值及方差(结果精确到0.1).
注:年份代码1-10分别对应年份2010-2019.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:,.样本方差公式:.参考数据:,,.
(1)求出关于年份代码的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析2010-2019年我国产业差值的变化情况,并预测我国产业差值在哪一年约为34万亿元;
(3)结合折线图,试求出除去2014年产业差值后剩余的9年产业差值的平均值及方差(结果精确到0.1).
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【推荐1】某网络购物平台专营店统计了某年2月15日至19日这5天在该店购物的人数(单位:人)的数据如下表:
(1)根据表中数据,建立关于的一元线性回归模型,并根据该回归模型预测当年2月21日在该店购物的人数(人数用四舍五入法取整数);
(2)为了了解参加网购人群的年龄分布,该店随机抽取了200人进行问卷调查.得到如下所示不完整的列联表:
将列联表补充完整,并依据表中数据及小概率值的独立性检验,能否认为“参与网上购物”与“年龄”有关.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
日期 | 2月15日 | 2月16日 | 2月17日 | 2月18日 | 2月19日 |
日期代号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
购物人数 | 77 | 84 | 93 | 96 | 100 |
(2)为了了解参加网购人群的年龄分布,该店随机抽取了200人进行问卷调查.得到如下所示不完整的列联表:
年龄 | 不低于40岁 | 低于40岁 | 合计 |
参与过网上购物 | 30 | 150 | |
未参与过网上购物 | 30 | ||
合计 | 200 |
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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解答题-应用题
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名校
解题方法
【推荐2】近年来,我国大学生毕业人数呈逐年上升趋势,各省市出台优惠政策鼓励高校毕业生自主创业,以创业带动就业.某市统计了该市其中四所大学2021年的毕业生人数及自主创业人数(单位:千人),得到如下表格:
(1)已知与具有较强的线性相关关系,求关于的线性回归方程;
(2)假设该市政府对选择自主创业的大学生每人发放1万元的创业补贴.
(ⅰ)若该市大学2021年毕业生人数为7千人,根据(1)的结论估计该市政府要给大学选择自主创业的毕业生创业补贴的总金额;
(ⅱ)若大学的毕业生中小明、小红选择自主创业的概率分别为,,该市政府对小明、小红两人的自主创业的补贴总金额的期望不超过1.4万元,求的取值范围.
参考公式:回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为.
大学 | 大学 | 大学 | 大学 | |
当年毕业人数(千人) | 3 | 4 | 5 | 6 |
自主创业人数(千人) | 0.1 | 0.2 | 0.4 | 0.5 |
(2)假设该市政府对选择自主创业的大学生每人发放1万元的创业补贴.
(ⅰ)若该市大学2021年毕业生人数为7千人,根据(1)的结论估计该市政府要给大学选择自主创业的毕业生创业补贴的总金额;
(ⅱ)若大学的毕业生中小明、小红选择自主创业的概率分别为,,该市政府对小明、小红两人的自主创业的补贴总金额的期望不超过1.4万元,求的取值范围.
参考公式:回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为.
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解答题-问答题
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解题方法
【推荐3】炼钢是一个氧化降碳的过程,钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短,必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系.如果已测得炉料溶化完毕时钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料溶化完毕到出钢的时间)的一组数据,如表所示:
(1)y与x是否具有线性相关关系?
(2)如果y与x具有线性相关关系,求回归直线方程.
(3)预报当钢水含碳量为160个0.01%时,应冶炼多少分钟?
参考公式: ,
线性回归方程
x(0.01%) | 104 | 180 | 190 | 177 | 147 | 134 | 150 | 191 | 204 | 121 |
y/min | 100 | 200 | 210 | 185 | 155 | 135 | 170 | 205 | 235 | 125 |
(2)如果y与x具有线性相关关系,求回归直线方程.
(3)预报当钢水含碳量为160个0.01%时,应冶炼多少分钟?
参考公式: ,
线性回归方程
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名校
【推荐1】投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏,投壶礼来源于射礼.投壶的横截面是三个圆形,投掷者站在距离投壶一定距离的远处将箭羽投向三个圆形的壶口,若箭羽投进三个圆形壶口之一就算投中.为弘扬中华传统文化,某次文化活动进行了投壶比赛,比赛规定投进中间较大圆形壶口得分,投进左右两个小圆形壶口得分,没有投进壶口不得分.甲乙两人进行投壶比赛,比赛分为若干轮,每轮每人投一支箭羽,最后将各轮所得分数相加即为该人的比赛得分,比赛得分高的人获胜.已知甲每轮投一支箭羽进入中间大壶口的概率为,投进入左右两个小壶口的概率都是,乙每轮投一支箭羽进入中间大壶口的概率为,投进入左右两个小壶口的概率分别是和,甲乙两人每轮是否投中相互独立,且两人各轮之间是否投中也互相独立.若在最后一轮比赛前,甲的总分落后乙分,设甲最后一轮比赛的得分为,乙最后一轮比赛的得分为.
(1)求甲最后一轮结束后赢得比赛的概率;
(2)求的数学期望.
(1)求甲最后一轮结束后赢得比赛的概率;
(2)求的数学期望.
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解答题-问答题
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适中
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解题方法
【推荐2】一袋中装有4个黄球2个红球,现从中随机不放回地抽取3个球.
(1)求至少抽到一个红球的概率;
(2)求取出的黄球个数的分布列和数学期望.
(1)求至少抽到一个红球的概率;
(2)求取出的黄球个数的分布列和数学期望.
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名校
【推荐3】我市拟建立一个博物馆,采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司,经过层层师选,甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案:两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题,已知这6个招标问题中,甲公司能正确回答其中4道题目,而乙公司能正确回答每道题目的概率均为,甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立,互不影响的.
(1)求甲公司至少答对2道题目的概率;
(2)请从期望和方差的角度分析,甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大?
(1)求甲公司至少答对2道题目的概率;
(2)请从期望和方差的角度分析,甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大?
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