【推荐1】已知椭圆：的左焦点为，过点作轴的垂线交椭圆于、两点，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P为椭圆短轴的上顶点，直线不经过P点，且与相交于、两点，若直线与直线的斜率的和为，问：直线是否过定点？若是，求出这个定点，否则说明理由．

【推荐2】在平面直角坐标系中，椭圆的左、右顶点分别A，B，F是椭圆C的右焦点，且，.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C存在一动点M，连接OM，过点F作直线交椭圆C于P，Q两点，求证：为定值.

【推荐3】已知椭圆，过的焦点且垂直于轴的直线被截得的弦长为，椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过右焦点的直线与交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，求直线的方程.

【推荐1】在①离心率，②椭圆E过点，③M在椭圆上，且面积的最大值为这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，并解决下面两个问题．
设椭圆的左右焦点分别为，下顶点为A．已知椭圆E的短轴长为，__________．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若斜率为k的直线l于椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，且直线与的斜率之和等于2，问直线是否经过某一定点？如果经过定点，请求出该定点的坐标；如果不经过定点，请说明理由．

【推荐2】已知椭圆C：.过点，两个焦点为和.设E，F是椭圆C上的两个动点.
(1)如果直线AE的斜率与直线AF的斜率之和为2，证明：直线EF恒过定点；
(2)如果直线AE的斜率与直线AF的斜率之积为2，证明：直线EF恒过定点.

【推荐3】已知椭圆C：（）的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，四边形的面积为，且该四边形内切圆的方程为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：（k，m均为常数）与椭圆C相交于M，N两个不同的点（M，N异于，），若以为直径的圆过椭圆C的右顶点，试判断直线l能否过定点?若能，求出该定点坐标；若不能，也请说明理由．