【推荐1】所谓正多面体，是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角.例如：正四面体(即正棱锥体)的四个面都是全等的三角形，每个顶点有一个三面角，共有四个三面角，可以完全重合，也就是说它们是全等的.毕达哥拉斯学派将正多面体称为宇宙体，并指出只有五种宇宙体，即正四面体､正六面体､正人面体､正十二面体､正二十面体.由棱长为的正方体的六个表面的中心可构成一正八面体，则该正八面体的内切球的表面积为___________.

【推荐2】已知正四棱柱的底面边长，侧棱长，它的外接球的球心为，点是的中点，点是球上的任意一点，有以下命题：
①的长的最大值为9;
②三棱锥的体积的最大值是;     
③过点的平面截球所得的截面面积最大时，垂直于该截面.
④三棱锥的体积的最大值为20；
其中是真命题的序号是___________

【推荐3】若直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）的每个顶点都在球的表面上，若,则球的表面积等于________.

【推荐1】在平面直角坐标系中，已知点，沿x轴把坐标系折成的二面角，则此时线段的长度为________．

【推荐2】在边长为2的菱形中，，将这个菱形沿对角线折成的二面角，这时线段的长度为_______．

【推荐3】如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折成大小等于的二面角，M，N分别为AC，的中点，若，则线段MN长度的取值范围为_______