某中学在2020年高考分数公布后对高三年级各班的成绩进行分析.经统计某班有
名同学，总分都在区间
内，将得分区间平均分成
组，统计频数､频率后，得到了如图所示的“频率分布”折线图.
（1）请根据频率分布折线图，画出频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计该班级的平均分；
（2）经过相关部门的计算，本次高考总分大于等于
的同学可以获得高校
的“强基计划”入围资格.高校的“强基计划”校考分为两轮.第一轮为笔试，所有入围同学都要参加，考试科目为数学和物理，每科的笔试成绩从高到低依次有
，
，
，
四个等级，两科中至少有一科得到，且两科均不低于，才能进入第二轮，第二轮得到“通过的同学将被高校提前录取.已知入围的同学参加第一轮笔试时，总分高于
分的同学在每科笔试中取得，，，的概率分别为
，
，
，；总分不超过分的同学在每科笔试中取得，，，的概率分别为
，
，，；进入第二轮的同学，若两科笔试成绩均为，则免面试，并被高校提前录取；若两科笔试成绩只有一个，则要参加面试，总分高于分的同学面试“通过”的概率为，总分不超过分的同学面试“通过”的概率为
，面试“通过”的同学也将被高校提前录取.若该班级考分前
名都已经报考了高校的“强基计划”，且恰有
人成绩高于分.求
①总分高于分的某位同学没有进入第二轮的概率
；
②该班恰有两名同学通过“强基计划”被高校提前录取的概率
.
名同学，总分都在区间内，将得分区间平均分成组，统计频数､频率后，得到了如图所示的“频率分布”折线图.（1）请根据频率分布折线图，画出频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计该班级的平均分；
（2）经过相关部门的计算，本次高考总分大于等于
的同学可以获得高校的“强基计划”入围资格.高校的“强基计划”校考分为两轮.第一轮为笔试，所有入围同学都要参加，考试科目为数学和物理，每科的笔试成绩从高到低依次有，，，四个等级，两科中至少有一科得到，且两科均不低于，才能进入第二轮，第二轮得到“通过的同学将被高校提前录取.已知入围的同学参加第一轮笔试时，总分高于分的同学在每科笔试中取得，，，的概率分别为，，，；总分不超过分的同学在每科笔试中取得，，，的概率分别为，，，；进入第二轮的同学，若两科笔试成绩均为，则免面试，并被高校提前录取；若两科笔试成绩只有一个，则要参加面试，总分高于分的同学面试“通过”的概率为，总分不超过分的同学面试“通过”的概率为，面试“通过”的同学也将被高校提前录取.若该班级考分前名都已经报考了高校的“强基计划”，且恰有人成绩高于分.求①总分高于
分的某位同学没有进入第二轮的概率；②该班恰有两名同学通过“强基计划”被高校
提前录取的概率.
更新时间：2021-06-03 10:20:05
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解答题-作图题
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适中
(0.65)
【推荐1】某中学共有1000名学生参加了该地区高三第一次质量检测的数学考试，数学成绩如下表所示：
（I）为了了解同学们前段复习的得失，以便制定下阶段的复习计划，学校将采用分层抽
样的方法抽取100名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，
求他被抽中的概率；
（II）已知本次数学成绩的优秀线为110分，试根据所提供数据估计该中学达到优秀线的人数；
（III）作出频率分布直方图，并估计该学校本次考试的数学平均分．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
| 数学成绩分组 |  |  |  |  |  |
| 人数 | 60 | 90 | 300 | x | 160 |
样的方法抽取100名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，
求他被抽中的概率；
（II）已知本次数学成绩的优秀线为110分，试根据所提供数据估计该中学达到优秀线的人数；
（III）作出频率分布直方图，并估计该学校本次考试的数学平均分．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
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适中
(0.65)
【推荐2】微信运动，是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号．用户可以通过关注微信运动公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和其他用户进行运动量的
或点赞．微信运动公众号为了解用户的一些情况，在微信运动用户中随机抽取了100名用户，统计了他们某一天的步数，数据整理如下：
（1）根据表中数据，在如图所示的坐标平面中作出其频率分布直方图，并在纵轴上标明各小长方形的高；
（2）利用分层抽样的方法，从步数在
（万步）中抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求步数在
（万步）的人恰有1人的概率；
（3）这100名用户中，
的用户为男生，这些男生的步数超过1.2万步的人为20人，是否有
的把握认为运动步数超过1.2万步与性别有关？
附：
或点赞．微信运动公众号为了解用户的一些情况，在微信运动用户中随机抽取了100名用户，统计了他们某一天的步数，数据整理如下： (万步) |  |  | |  |  |  |
 (人) | 5 | 20 | 50 | 15 | 5 | 5 |
（1）根据表中数据，在如图所示的坐标平面中作出其频率分布直方图，并在纵轴上标明各小长方形的高；
（2）利用分层抽样的方法，从步数在
（万步）中抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求步数在（万步）的人恰有1人的概率；（3）这100名用户中，
的用户为男生，这些男生的步数超过1.2万步的人为20人，是否有的把握认为运动步数超过1.2万步与性别有关？附：
 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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解答题-作图题
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适中
(0.65)
【推荐3】某家庭记录了未使用节水龙头天的日用水量数据（单位：
）和使用了节水龙头天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头天的日用水量频数分布表
（1）作出使用了节水龙头天的日用水量数据的频率分布直方图：
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于
的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按
天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
天的日用水量数据（单位：）和使用了节水龙头天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头
天的日用水量频数分布表日用水量 |
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频数 |
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天的日用水量频数分布表日用水量 |
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频数 |
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天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于
的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按
天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
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适中
(0.65)
【推荐1】某品牌国产电动车近期进行了一系列优惠促销方案．既要真正让利于民，更要保证品质兼优，工厂在车辆出厂前抽取了100辆汽车作为样本进行单次最大续航里程的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图．
（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）．
(2)根据大量的测试数据，可以认为该款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布
，经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为50，用样本平均数作为
的近似值，用样本标准差s作为
的估计值，现从该款汽车的生产线任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率．
(3)某线下销售公司现面向意向客户推出“玩游戏，赢大奖，送车模”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，指挥车模在方格图上行进，若车模最终停在“幸运之神”方格，则可获得购车优惠券8万元；若最终停在“赠送车模”方格时，则可获得车模一个．已知硬币出现正、反面的概率都是0.5，车模开始在第0格，客户每掷一次硬币，车模向前移动一次．若掷出正面，车模向前移动一格，若掷出反面，车模向前移动两格，直到移到第4格（幸运之神）或第5格（赠送车模）时游戏结束．若有6人玩游戏，每人参与一次，求这6人获得优惠券总金额的期望值．
服从正态分布，则
，
，
（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）．(2)根据大量的测试数据，可以认为该款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布
，经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为50，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，现从该款汽车的生产线任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率．(3)某线下销售公司现面向意向客户推出“玩游戏，赢大奖，送车模”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，指挥车模在方格图上行进，若车模最终停在“幸运之神”方格，则可获得购车优惠券8万元；若最终停在“赠送车模”方格时，则可获得车模一个．已知硬币出现正、反面的概率都是0.5，车模开始在第0格，客户每掷一次硬币，车模向前移动一次．若掷出正面，车模向前移动一格，若掷出反面，车模向前移动两格，直到移到第4格（幸运之神）或第5格（赠送车模）时游戏结束．若有6人玩游戏，每人参与一次，求这6人获得优惠券总金额的期望值．
服从正态分布，则，，
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(0.65)
名校
【推荐2】2020年，我国已经实现全面脱贫的历史性战略任务．但巩固脱贫成果还有很多工作要继续，利用互联网电商进行产品的销售就是一种有效的方式．重庆市奉节县盛产脐橙，为了更好销售，现从脐橙树上随机摘下100个脐橙进行测重，其质量分布在区间
（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：
（1）按分层抽样的方法从质量落在
的脐橙中随机抽取5个，再从这5个脐橙中随机抽取2个，求这2个脐橙中恰有1个落在区间
上的概率；
（2）根据频率分布直方图，估计这100个脐橙质量的中位数；
（3）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的脐橙种植地上大约还有100000个脐橙待出售，某电商提出两种收购方案：
A．所有脐橙均以7元仟千克收购；
B．低于350克的脐橙以2元/个收购，其余的以3元/个收购．
请你通过计算为该村选择收益较好的方案．
参考数据：
．
（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：（1）按分层抽样的方法从质量落在
的脐橙中随机抽取5个，再从这5个脐橙中随机抽取2个，求这2个脐橙中恰有1个落在区间上的概率；（2）根据频率分布直方图，估计这100个脐橙质量的中位数；
（3）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的脐橙种植地上大约还有100000个脐橙待出售，某电商提出两种收购方案：
A．所有脐橙均以7元仟千克收购；
B．低于350克的脐橙以2元/个收购，其余的以3元/个收购．
请你通过计算为该村选择收益较好的方案．
参考数据：
．
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适中
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【推荐3】2023年10月26日，神舟十七号顺利发射，我国史上最年轻航天员乘组创造了中国航天历史.这一伟大壮举激发了行知中学学生学习航天知识的热情，学校开展了“航天知识竞赛”活动.活动分为三个阶段，第一阶段为“初赛”，通过网络答题活动，遴选优秀学生60名；第二阶段为“复赛”，由初赛遴选的60名学生进行“航天模型设计”竞赛；第三阶段为“决赛”，由“复赛”成绩前2名的学生进行“空间知识竞赛”决赛，获胜者授予“航天小达人”称号.现统计参加“航天模型设计”竞赛的60名学生的成绩得到频率分布直方图如下：
(1)根据频率分布直方图，估计参加“航天模型设计”竞赛的60名学生的成绩平均分；
(2)已知甲、乙两名同学参加决赛，决赛采取现场答题的方式进行.比赛规则如下：若选手答对题，则继续下一次答题；若答错题，则由另一位选手进行下一次答题.已知甲、乙两位选手答对任一试题的概率均为，每次答题相互独立，且甲选手答第1题.
①求前3次答题，甲答2次题的概率；
②设第
次为甲答题的概率为
，求.
(1)根据频率分布直方图，估计参加“航天模型设计”竞赛的60名学生的成绩平均分；
(2)已知甲、乙两名同学参加决赛，决赛采取现场答题的方式进行.比赛规则如下：若选手答对题，则继续下一次答题；若答错题，则由另一位选手进行下一次答题.已知甲、乙两位选手答对任一试题的概率均为
，每次答题相互独立，且甲选手答第1题.①求前3次答题，甲答2次题的概率；
②设第
次为甲答题的概率为，求.
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适中
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名校
解题方法
【推荐1】甲袋中有个黑球，
个白球，乙袋中有
个黑球，个白球，从两袋中各取一球．
(1)求“两球颜色相同”的概率；
(2)设表示所取白球的个数，求的概率分布列．
个黑球，个白球，乙袋中有个黑球，个白球，从两袋中各取一球．(1)求“两球颜色相同”的概率；
(2)设
表示所取白球的个数，求的概率分布列．
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适中
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名校
解题方法
【推荐2】在2023年春节期间，为了进一步发挥电子商务在活跃消费市场方面的积极作用，保障人民群众度过一个平安健康快乐祥和的新春佳节，甲公司和乙公司在某购物平台上同时开启了打折促销，直播带年货活动，甲公司和乙公司所售商品类似，存在竞争关系．
(1)现对某时间段100名观看直播后选择这两个公司直播间购物的情况进行调查，得到如下数据：
是否有99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关？
(2)若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一个直播间进行购物，第一天等可能他从甲、乙两家中选一家直播间购物，如果第一天去甲直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.7；如果第一天去乙直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.8，求小李第二天去乙直播间购物的概率；
(3)元旦期间，甲公司购物平台直播间进行“秒杀”活动，假设直播间每人下单成功的概率均为
，每人下单成功与否互不影响，若从直播间中随机抽取五人，记五人中恰有2人下单成功的概率为
，求的最大值点
．
参考公式：
，其中
．
独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值表：
(1)现对某时间段100名观看直播后选择这两个公司直播间购物的情况进行调查，得到如下数据：
选择甲公司直播间购物 | 选择乙公司直播间购物 | 合计 | |
用户年龄段19—24岁 | 40 | 50 | |
用户年龄段25—34岁 | 30 | ||
合计 |
(2)若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一个直播间进行购物，第一天等可能他从甲、乙两家中选一家直播间购物，如果第一天去甲直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.7；如果第一天去乙直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.8，求小李第二天去乙直播间购物的概率；
(3)元旦期间，甲公司购物平台直播间进行“秒杀”活动，假设直播间每人下单成功的概率均为
，每人下单成功与否互不影响，若从直播间中随机抽取五人，记五人中恰有2人下单成功的概率为，求的最大值点．参考公式：
，其中．独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值表：
| 0.10 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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解答题-应用题
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适中
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名校
解题方法
【推荐3】甲乙两人进行投篮比赛，两人各投一次为一轮比赛，约定如下规则：如果在一轮比赛中一人投进，另一人没投进，则投进者得
分，没进者得
分，如果一轮比赛中两人都投进或都没投进，则都得0分，当两人各自累计总分相差4分时比赛结束，得分高者获胜．在每次投球中甲投进的概率为0.5，乙投进的概率为0.6，每次投球都是相互独立的．在每一轮比赛中，记甲得1分的概率为
，乙得1分的概率为
，两人都得0分的概率为
.
(1)求
的值；
(2)若两人起始分都为0分，求恰好经过4轮比赛，甲获胜的概率．
分，没进者得分，如果一轮比赛中两人都投进或都没投进，则都得0分，当两人各自累计总分相差4分时比赛结束，得分高者获胜．在每次投球中甲投进的概率为0.5，乙投进的概率为0.6，每次投球都是相互独立的．在每一轮比赛中，记甲得1分的概率为，乙得1分的概率为，两人都得0分的概率为.(1)求
的值；(2)若两人起始分都为0分，求恰好经过4轮比赛，甲获胜的概率．
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解答题-应用题
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适中
(0.65)
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解题方法
【推荐1】某食品企业与甲、乙两超市签订了长期供应某种海鲜罐头的合同，每月供应一次，经调研发现：①每家超市的月需求量都只有两种：400件或600件，且互相不受影响；
②甲、乙两超市的月需求量为400件的概率分别为，
.
(1)求两超市的月需求总量为1000件的概率；
(2)已知企业对此罐头的供货价格为30元／件，生产此罐头的成本为：800件内（含800）为20元／件，超过800件但不超过1000件的部分为15元／件，超过1000件的部分为10元／件.企业拟将月生产量X（单位：件）定为800或1000或1200.若两超市的月需求总量超过企业的月生产量，则企业每月按月生产量供货，若两超市的月需求总量不超过企业的月生产量，则企业每月按月需求总量供货.为保障食品安全，若有多余罐头企业每月自行销毁，损失自负.请你确定
的值，使该企业的生产方案最佳，即企业每月生产此罐头的利润
的数学期望最大，并说明理由.
②甲、乙两超市的月需求量为400件的概率分别为
，.(1)求两超市的月需求总量为1000件的概率；
(2)已知企业对此罐头的供货价格为30元／件，生产此罐头的成本为：800件内（含800）为20元／件，超过800件但不超过1000件的部分为15元／件，超过1000件的部分为10元／件.企业拟将月生产量X（单位：件）定为800或1000或1200.若两超市的月需求总量超过企业的月生产量，则企业每月按月生产量供货，若两超市的月需求总量不超过企业的月生产量，则企业每月按月需求总量供货.为保障食品安全，若有多余罐头企业每月自行销毁，损失自负.请你确定
的值，使该企业的生产方案最佳，即企业每月生产此罐头的利润的数学期望最大，并说明理由.
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解答题-应用题
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适中
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【推荐2】为研究北京西部地区油松次生林和油松人工林的森林群落植物多样性问题，某高中研究性学习小组暑假以妙峰山油松次生林和老山油松人工林为研究对象进行调查，得到两地区林下灌木层，乔木层，草本层的抽样调查数据．其中两地区林下灌木层获得数据如表1，表2所示：
表1：老山油松人工林林下灌木层
表2：妙峰山油松次生林林下灌木层
(1)从抽取的老山油松人工林林下灌木层的植物样本中任选2株，求2株植物的类型都是乔木幼苗的概率；
(2)以表格中植物类型的频率估计概率，从妙峰山油松次生林林下灌木层的所有植物中随机抽取3株（假设每次抽取的结果互不影响），记这3株植物的植物类型是灌木的株数为，求的分布列和数学期望；
(3)从老山油松人工林的林下灌木层所有符合表1中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为；从妙峰山油松次生林的林下灌木层所有符合表2中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为．请直接写出与大小关系．（结论不要求证明）
表1：老山油松人工林林下灌木层
| 植物名称 | 植物类型 | 株数 |
| 酸枣 | 灌木 | 28 |
| 荆条 | 灌木 | 41 |
| 孩儿拳头 | 灌木 | 22 |
| 河朔荛花 | 灌木 | 4 |
| 臭椿 | 乔木幼苗 | 1 |
| 黑枣 | 乔木幼苗 | 1 |
| 构树 | 乔木幼苗 | 2 |
| 元宝槭 | 乔木幼苗 | 1 |
| 植物名称 | 植物类型 | 株数 |
| 黄栌 | 乔木幼苗 | 6 |
| 朴树 | 乔木幼苗 | 7 |
| 栾树 | 乔木幼苗 | 4 |
| 鹅耳枥 | 乔木幼苗 | 7 |
| 葎叶蛇葡萄 | 木质藤本 | 8 |
| 毛樱桃 | 灌木 | 9 |
| 三裂绣线菊 | 灌木 | 11 |
| 胡枝子 | 灌木 | 10 |
| 大花溲疏 | 灌木 | 10 |
| 丁香 | 灌木 | 8 |
(2)以表格中植物类型的频率估计概率，从妙峰山油松次生林林下灌木层的所有植物中随机抽取3株（假设每次抽取的结果互不影响），记这3株植物的植物类型是灌木的株数为
，求的分布列和数学期望；(3)从老山油松人工林的林下灌木层所有符合表1中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为
；从妙峰山油松次生林的林下灌木层所有符合表2中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为．请直接写出与大小关系．（结论不要求证明）
您最近半年使用：0次
解答题-问答题
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适中
(0.65)
解题方法
【推荐3】
年初，世界各地相继爆发了“新冠肺炎”疫情，其最大特点是人传人，传播快，传播广，对人类生命形成巨大危害．而通过佩戴口罩可以防止外界的气体、飞沫进入口鼻呼吸道中，有效地降低病毒传染几率．若在某公共场合不戴口罩被感染的概率是，戴口罩被感染的概率是
，现有在该公共场合活动的甲、乙、丙、丁、戊五人，每个人是否被感染相互独立．
(1)若五人都不戴口罩，求其中恰有两人被感染的概率；
(2)若五人中有人戴口罩，求其中恰有两人被感染的概率；
(3)分别计算戴口罩和不戴口罩五人全部感染“新冠肺炎”的概率，并得出你的结论．
年初，世界各地相继爆发了“新冠肺炎”疫情，其最大特点是人传人，传播快，传播广，对人类生命形成巨大危害．而通过佩戴口罩可以防止外界的气体、飞沫进入口鼻呼吸道中，有效地降低病毒传染几率．若在某公共场合不戴口罩被感染的概率是，戴口罩被感染的概率是，现有在该公共场合活动的甲、乙、丙、丁、戊五人，每个人是否被感染相互独立．(1)若五人都不戴口罩，求其中恰有两人被感染的概率；
(2)若五人中有
人戴口罩，求其中恰有两人被感染的概率；(3)分别计算戴口罩和不戴口罩五人全部感染“新冠肺炎”的概率，并得出你的结论．
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