【推荐1】如图，在菱形中，，，、分别为、上的点，，，若线段上存在一点，使得，则____；若，则的最大值为 _____．

【推荐2】共和国勋章，是中华人民共和国最高荣誉勋章，授予在中国特色社会主义建设和保卫国家中作出巨大贡献、建立卓越功勋的杰出人士.2020年8月11日，国家主席习近平签署主席令，授予钟南山“共和国勋章”．某市为表彰在抗疫中表现突出的个人，制作的荣誉勋章的挂坠结构示意图如图，O为图中两个同心圆的圆心，三角形ABC中，AB＝AC，大圆半径OA＝2，小圆半径OB＝OC＝1，记S为三角形OAB与三角形OAC的面积之和，其中，，则S的最大值为______，此时______．

【推荐3】如图，在中，D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且，若，，则______.

【推荐1】已知菱形的边长为，且，将菱形沿对角线翻折成直二面角，则__________；二面角的余弦值是__________.

【推荐2】中，，，是外接圆的圆心，则的最大值为___________.

【推荐3】已知点，设B、C是圆O：上的两个不同的动点，且向量(其中t为实数)，则______．

【推荐1】设，，是任意非零的平面向量，且互不共线，给出以下命题：
①；
②不与向量垂直；
③.
其中是真命题的是_________.(填序号)

【推荐2】如图，在中，，，，分别为，的中点，为与的交点，且.若，则___________；若，，，则___________.

【推荐3】已知平面向量，是非零向量.若在上的投影向量的模为1，，则的取值范围是______.