【推荐1】如图，在矩形中，已知，且，则__________.

【推荐2】已知正方形边长为，为边上一点，则的最小值为__________．

【推荐3】共和国勋章，是中华人民共和国最高荣誉勋章，授予在中国特色社会主义建设和保卫国家中作出巨大贡献、建立卓越功勋的杰出人士.2020年8月11日，国家主席习近平签署主席令，授予钟南山“共和国勋章”．某市为表彰在抗疫中表现突出的个人，制作的荣誉勋章的挂坠结构示意图如图，O为图中两个同心圆的圆心，三角形ABC中，AB＝AC，大圆半径OA＝2，小圆半径OB＝OC＝1，记S为三角形OAB与三角形OAC的面积之和，其中，，则S的最大值为______，此时______．

【推荐1】已知为数列的前n项和，，平面内三个不共线的向量，满足（且），若、、在同一直线上，则_____．

【推荐2】在中，若为的交点，满足，则的值为__________．

【推荐3】如图，在中，是的中点，在边上，，，与的交点为．若，则的长为______．

【推荐1】在中，a，b，c分别为三角形的三边长，设，，，，.则b的值为______.

【推荐2】已知与单位向量的夹角为，且，则_________．

【推荐3】两个向量满足，则=______．

【推荐1】已知向量、是夹角为的两个单位向量，向量与向量垂直，则实数 ______ ．

【推荐2】若，是两个单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角的余弦值为_____．

【推荐3】已知平面向量，是非零向量.若在上的投影向量的模为1，，则的取值范围是______.