【推荐1】观察实际情景，提出并分析问题
（1）实际情景
双十—就要到了，那时候大家都很忙，卖家搞促销，想赚更多的钱，买家想货比三家，买到物美价廉的商品，在这个交易过程中，快递不可或缺，你们有没有发现，商品都会被形形色色的盒子所包装，对于快递公司而言，包装同一个商品，用的材料越少越好，而给你一张硬纸片﹐制作出的盒子当然体积越大越好，这样制作非常环保．
（2）提出问题
一个边长为定值的正方形纸片按某种方式裁剪，做成一个无盖的方底纸盒，当盒底边长与高分别为多少时，盒子容积最大?最大容积是多少?
（3）分析问题
容积的计算依据裁剪的方法，由学生根据自己所学知识确定裁剪方法，确定剪裁方法后，我们可以通过长度关系，用未知数表示盒子容积，根据函数单调性求得容积最大时的相应的裁剪方法．
2．收集数据
现有一个面积为平方厘米的正方形纸板．
3．剪裁过程
裁剪方案1：去除如阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得正方形的四个点重合于图中的点，正好形成一个长方体形状的包装盒．

裁剪方案2：如图所示，先在正方形的相邻两个角各切去边长为的正方形，然后在余下两角处各切去一个长、宽分别为、的矩形，再将剩余部分沿图中的虚线折起．

4．问题解决
裁剪方案1：设包装盒的高为，底面边长为，
则，，，
所以，；
可得，
当时，；当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
当时，取得极大值也是最大值：．
所以当时，包装盒的容积最大是．
裁剪方案2：因为包装盒高，底面矩形的长为，宽为，
所以包装盒的容积为，
函数的定义域为．
，
令，解得，
∴当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
∴当时，函数取得极大值，也是函数的最大值，
所以．
比较两种模型，故选择裁剪方案1．
5．检验模型
两种最值的计算都是依据给定的裁剪方法，可能会有其他的裁剪方法，求得的容积可能会更大．
6．延伸拓展
请同学们集思广益，研究一下是否有其他裁剪方法，并计算出相应的容积的最大值．

【推荐2】某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科技工业园区．已知⊥，∥，且，,曲线段是以点为顶点且开口向上的抛物线的一段．如果要使矩形的相邻两边分别落
在，上，且一个顶点落在曲线段上．问：应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到）．

【推荐3】在边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？

【推荐1】如图，在底面边长为的正三棱柱中，，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求正三棱柱的体积及表面积．

【推荐2】已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积．

【推荐3】已知圆柱的底面半径为，高为，一平面平行于圆柱的轴，且与轴的距离为，截圆柱得矩形.

（1）求圆柱的侧面积与体积；
（2）求截面的面积.