【推荐1】已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于不同的两点，且当为的中点时，.
(1)求抛物线的方程.
(2)记抛物线在两点处的切线的交点为，是否存在直线使与的面积相等？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

【推荐2】已知抛物线上的点到其焦点F的距离为5.
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l交C于A，B两点，且N为线段的中点，求直线l的方程.

【推荐3】已知抛物线上一点到焦点的距离为4，动直线交抛物线于坐标原点O和点A，交抛物线的准线于点B，若动点P满足，动点P的轨迹C的方程为.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）求动点P的轨迹方程；
（3）以下给出曲线C的四个方面的性质，请分别进行研究，并写出简要的理由：①对称性；②范围：③渐近线；④时，写出由确定的函数的单调区间.

【推荐1】已知A，B，C是抛物线上三点，且，，垂足为D.
(1)当C的坐标为时，求点D的轨迹方程；
(2)当C的坐标为时，是否存在点Q，使得为定值，若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐2】已知动圆过定点且与定直线：相切，点在上.
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）设过点且斜率为的直线与曲线交于、两点.问直线：上是否存在点，使得是以为直角的直角三角形？如果存在，求出点的坐标；若不能，请说明理由.

【推荐3】已知平面上的动点到定点的距离比到直线的距离小1．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点的直线交于两点，在轴上是否存在定点，使得变化时，直线与的斜率之和是0，若存在，求出定点的坐标，若不存在，写出理由．