【推荐1】用一张边长为a的正方形硬纸板，在四个角裁去边长为的四个小正方形，再折叠成无盖方盒．当裁去的小正方形边长发生变化时，纸盒的容积会随之发生变化．问：
(1)求关于的函数关系式；
(2)取何值时，容积最大？最大值是多少？

【推荐2】传说《西游记》中孙悟空的“如意金箍棒”原本是东海海底的一枚“定海神针”.作为兵器，“如意金箍棒”威力巨大，且只有孙悟空能让其大小随意变化．假定孙悟空在使用“如意金箍棒”与各路妖怪打斗时，都将其变化为底面半径为4至10之间的圆柱体．现假定孙悟空刚与一妖怪打斗完毕，并降伏了此妖怪，此时“如意金箍棒”的底面半径为10，长度为.在此基础上，孙悟空使“如意金箍棒”的底面半径以每秒1匀速缩短，同时长度以每秒40匀速增长，且在这一变化过程中，当“如意金箍棒”的底面半径为8时，其体积最大.
（1）求在这一变化过程中，“如意金箍棒”的体积随时间（秒）变化的解析式，并求出其定义域；
（2）假设在这一变化过程中，孙悟空在“如意金箍棒”体积最小时，将其定型，准备迎战下一个妖怪．求此时“如意金箍棒”的底面半径．

【推荐3】如图，在半径为10cm的半圆形（为圆心）铝皮上截取一块矩形材料，其中点、在直径上，点、在圆周上．

（1）怎样截取才能使截得的矩形的面积最大？并求最大面积
（2）若将所截得的矩形铝皮卷成一个以为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积．

【推荐1】如图1所示，在等腰梯形中，，，垂足为，，.将沿折起到的位置，使平面平面，如图2所示，点为棱的中点.

（1）求证:平面；
（2）求三棱锥的体积.

【推荐2】如图，在正三棱柱中，，、分别为与的中点．
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求四面体的体积．

【推荐3】如图，在四棱柱中，面，，，，分别为中点，.

（1）求的长度；
（2）若线段与三点所确定的平面交于点，求的值.