【推荐1】在公差为的等差数列中，已知，且.
（1）求公差和通项公式；
（2）若，求数列的前项和，并证明数列为等差数列.

【推荐2】已知数列是首项为，公差为的等差数列.
（1）若，，，数列的前项积记为，且，求的值；
（2）若，且恒成立，求的通项公式.

【推荐3】在等差数列中，，，其前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和，并证明.

【推荐1】某学校餐厅每天供应名学生用餐，每星期一有、两种菜可供选择.调查表明，凡是在这星期一选菜的学生，下星期一会有改选菜；而这星期一选菜的学生，下星期一会有改选菜.用、分别表示第个星期一选菜的人数和选菜的人数.
（1）试用（且）表示，并判断数列是否为等比数列，请说明理由；
（2）若第个星期一选菜的有名学生，则第个星期一选菜的大约有多少名学生？

【推荐2】甲、乙两位同学参加某个知识答题游戏节目，答题分两轮，第一轮为“选题答题环节”第二轮为“轮流坐庄答题环节”.首先进行第一轮“选题答题环节”，答题规则是：每位同学各自从备选的5道不同题中随机抽出3道题进行答题，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，已知甲能答对备选5道题中的每道题的概率都是，乙恰能答对备选5道题中的其中3道题；第一轮答题完毕后进行第二轮“轮流坐庄答题环节”，答题规则是：先确定一人坐庄答题，若答对，继续答下一题…，直到答错，则换人（换庄）答下一题…以此类推.例如若甲首先坐庄，则他答第1题，若答对继续答第2题，如果第2题也答对，继续答第3题，直到他答错则换成乙坐庄开始答下一题，…直到乙答错再换成甲坐庄答题，依次类推两人共计答完20道题游戏结束，假设由第一轮答题得分期望高的同学在第二轮环节中最先开始作答，且记第道题也由该同学（最先答题的同学）作答的概率为（），其中，已知供甲乙回答的20道题中，甲，乙两人答对其中每道题的概率都是，如果某位同学有机会答第道题且回答正确则该同学加10分，答错（不答视为答错）则减5分，甲乙答题相互独立；两轮答题完毕总得分高者胜出.回答下列问题
（1）请预测第二轮最先开始作答的是谁？并说明理由
（2）①求第二轮答题中，；
②求证为等比数列，并求（）的表达式.

【推荐3】（1）《孙子算经》是我国南北朝时期的数学著作.在《孙子算经》中有“物不知数”问题:“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”意思是一个整数除以三余二、除以五余三、除以七余二，求这个整数.设这个整数为，当时，试求符合条件的的个数.
（2）《九章算术》叙述了一个老鼠打洞的趣事:“今有垣厚十尺，两鼠对穿，大鼠“壮壮”日二尺，小鼠'果果'亦二尺.大鼠·壮壮'日自三分之二，小鼠‘果果'日自半.问:何日相逢?各穿几何?”意思就是说，有一堵十尺厚的墙，两只老鼠从两边向中间打洞，大老鼠“壮壮”第一天打二尺，小老鼠“果果”也是二尺.大老鼠“壮壮”每天的打洞进度是前一天的倍，小老鼠“果果”每天的进度是前一天的倍.问第300天结束时，两只老鼠“壮壮”与“果果”是否能喜相逢?请说明理由.

【推荐1】在等差数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.

【推荐2】设是首项为1，公比为3的等比数列．
（Ⅰ）求的通项公式及前n项和；
（Ⅱ）已知是等差数列，为前n项和，且，求．

【推荐3】已知数列的前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.