如图，直线
与直线
之间的阴影区域（不含边界）记为
，其左半部分记为
，右半部分记为
．
(1)分别用不等式组表示和；
(2)若区域中的动点
到
的距离之积等于
，求点
的轨迹
的方程；
(3)设不过原点
的直线
与（2）中的曲线相交于
两点，且与分别交于
两点．求证
的重心与
的重心重合．
与直线之间的阴影区域（不含边界）记为，其左半部分记为，右半部分记为．(1)分别用不等式组表示
和；(2)若区域
中的动点到的距离之积等于，求点的轨迹的方程；(3)设不过原点
的直线与（2）中的曲线相交于两点，且与分别交于两点．求证的重心与的重心重合．
更新时间：2022-11-10 15:28:15
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】如图，数轴
，
的交点为，夹角为
，与轴、轴正向同向的单位向量分别是
，
.由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量
，存在唯一的有序实数对
，使得
，我们把叫做点在斜坐标系
中的坐标（以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标）.
（1）若
，为单位向量，且与的夹角为
，求点的坐标；
（2）若
，点的坐标为
，求向量与的夹角；
（3）若
，求过点
的直线的方程，使得原点到直线的距离最大.
，的交点为，夹角为，与轴、轴正向同向的单位向量分别是，.由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，我们把叫做点在斜坐标系中的坐标（以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标）.（1）若
，为单位向量，且与的夹角为，求点的坐标；（2）若
，点的坐标为，求向量与的夹角；（3）若
，求过点的直线的方程，使得原点到直线的距离最大.
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(0.4)
真题
【推荐2】已知复数
和
，其中
均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有
．
(1)试求m的值，并分别写出
和
用x、y表示的关系式；
(2)将
作为点P的坐标，
作为点Q的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q，当点P在直线
上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程；
(3)是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由．
和，其中均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有．(1)试求m的值，并分别写出
和用x、y表示的关系式；(2)将
作为点P的坐标，作为点Q的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q，当点P在直线上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程；(3)是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由．
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的直线
轴的正半轴分别相交于点
， 
的面积为
.
过点
的最小值.
【推荐1】已知
，动点
满足
与
的斜率之积为3，记动点的轨迹为
.
(1)求轨迹的方程；
(2)已知
，过
的直线交曲线在轴右侧的图像于
两点，求
面积的最小值；
(3)若直线过交曲线图像于两点，是否存在定点
，使得
恒成立，若存在，请求实数
的值；若不存在，请说明理由.
，动点满足与的斜率之积为3，记动点的轨迹为.(1)求轨迹
的方程；(2)已知
，过的直线交曲线在轴右侧的图像于两点，求面积的最小值；(3)若直线
过交曲线图像于两点，是否存在定点，使得恒成立，若存在，请求实数的值；若不存在，请说明理由.
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解题方法
【推荐2】已知直线
：
，直线
：
，过动点M作
，
，垂足分别为A，B，点A在第一象限，点B在第四象限，且四边形
（O为原点）的面积为2．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)若
，过点F且斜率为k的直线l交M的轨迹于C，D两点，线段CD的垂直平分线分别交x轴、y轴于
，
两点，求
的取值范围．
：，直线：，过动点M作，，垂足分别为A，B，点A在第一象限，点B在第四象限，且四边形（O为原点）的面积为2．(1)求动点M的轨迹方程；
(2)若
，过点F且斜率为k的直线l交M的轨迹于C，D两点，线段CD的垂直平分线分别交x轴、y轴于，两点，求的取值范围．
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【推荐3】轮船在海上航行时，需要借助无线电导航确认自己所在的位置，以把握航向．现有
、
、三个无线电发射台，其中在陆地上，在海上，在某国海岸线上，（该国这段海岸线可以近似地看作直线的一部分），如下图．已知、两点距离10千米，是
的中点，海岸线与直线的夹角为
．为保证安全，轮船的航路始终要满足：接收到点的信号比接收到点的信号晚
秒．（注：无线电信号每秒传播
千米）．在某时刻，测得轮船距离点距离为4千米．
（1）以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系（如图），求出该时刻轮船的位置；
（2）根据经验，船只在距离海岸线1.5千米以内的海域航行时，有搁浅的风险．如果轮船保持目前的航路不变，那么是否有搁浅风险?
、、三个无线电发射台，其中在陆地上，在海上，在某国海岸线上，（该国这段海岸线可以近似地看作直线的一部分），如下图．已知、两点距离10千米，是的中点，海岸线与直线的夹角为．为保证安全，轮船的航路始终要满足：接收到点的信号比接收到点的信号晚秒．（注：无线电信号每秒传播千米）．在某时刻，测得轮船距离点距离为4千米．（1）以点
为原点，直线为轴建立平面直角坐标系（如图），求出该时刻轮船的位置；（2）根据经验，船只在距离海岸线1.5千米以内的海域航行时，有搁浅的风险．如果轮船保持目前的航路不变，那么是否有搁浅风险?
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解题方法
【推荐1】已知过右焦点的直线交双曲线
于
两点，曲线的左右顶点分别为
，虚轴长与实轴长的比值为
．
(1)求曲线的方程；
(2)如图，点关于原点的对称点为点，直线
与直线
交于点
，直线
与直线
交于点
，求的轨迹方程．
的直线交双曲线于两点，曲线的左右顶点分别为，虚轴长与实轴长的比值为． (1)求曲线
的方程；(2)如图，点
关于原点的对称点为点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求的轨迹方程．
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(0.4)
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解题方法
【推荐2】在平面直角坐标系中，双曲线
的左、右焦点分别为
的离心率为2，直线过
与交于两点，当
时，
的面积为3.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知都在的右支上，设的斜率为
.
①求实数的取值范围；
②是否存在实数，使得
为锐角？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
中，双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2，直线过与交于两点，当时，的面积为3.(1)求双曲线
的方程；(2)已知
都在的右支上，设的斜率为.①求实数
的取值范围；②是否存在实数
，使得为锐角？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
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(0.4)
解题方法
【推荐3】费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径为6，且与轴交于点
．平行于轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点
处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射），试判断属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．
(2)设曲线
为解析式同的完整圆锥曲线，直线与交于，两点，交轴于点
，交轴于点
（点不与的顶点重合）．若
，
，试求出点所有可能的坐标．
为6，且与轴交于点．平行于轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）
，试判断属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．(2)设曲线
为解析式同的完整圆锥曲线，直线与交于，两点，交轴于点，交轴于点（点不与的顶点重合）．若，，试求出点所有可能的坐标．
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