甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛,规定每局比赛胜者得1分,负者得0分,平局双方均得0分,比赛一直进行到一方比另一方多两分为止,多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中,甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,两人平局的概率为,且每局比赛结果相互独立.
(1)若,求甲学员恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率;
(2)当时,若比赛最多进行5局,求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值.
(1)若,求甲学员恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率;
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更新时间:2023-07-24 09:39:10
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【推荐1】求下列函数的最值.
(1)的最小值;
(2)的最大值.
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【推荐2】已知函数.
(1)若不等式的解集为,求实数的值;
(2)若不等式,对任意的实数,恒成立,求正实数的最小值.
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【推荐1】甲、乙两种不同规格的产品,其质量按测试指标分数进行划分,其中分数不小于82分的为合格品,否则为次品.现随机抽取两种产品各100件进行检测,其结果如下:
(1)根据以上数据,完成下面的 列联表,并判断是否有 的有把握认为两种产品的质量有明显差异?
(2)已知生产1件甲产品,若为合格品,则可盈利40元,若为次品,则亏损5元;生产1件乙产品,若为合格品,则可盈利50元,若为次品,则亏损10元.记为生产1件甲产品和1件乙产品所得的总利润,求随机变量的分布列和数学期望(将产品的合格率作为抽检一件这种产品为合格品的概率).
附:
测试指标分数 | |||||
甲产品 | 8 | 12 | 40 | 32 | 8 |
乙产品 | 7 | 18 | 40 | 29 | 6 |
甲产品 | 乙产品 | 合计 | |
合格品 | |||
次品 | |||
合计 |
附:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.702 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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解题方法
【推荐2】某地开展生态环境保护主题的知识竞赛,满分为100分,现从参赛者的答卷中随机抽取100份作为样本,经统计得到如下成绩分布表.
若规定对竞赛的得分类别作如下规定:得分大于90分的为“优秀”,得分大于80不大于90分的为“良好”,
(1)估计所有参赛者的得分的平均数和中位数;
(2)从获得“良好”和“优秀”等第的样本试卷中,按分层抽样抽取6份,再从中随机抽取3份,获“优秀”者奖励200元购书券,获“良好”者奖励100元购书券,记购书券总金额为X(单位:元),求的分布列和数学期望.
竞赛分数 |
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份数 | 8 | 32 | 40 | 20 |
(1)估计所有参赛者的得分的平均数和中位数;
(2)从获得“良好”和“优秀”等第的样本试卷中,按分层抽样抽取6份,再从中随机抽取3份,获“优秀”者奖励200元购书券,获“良好”者奖励100元购书券,记购书券总金额为X(单位:元),求的分布列和数学期望.
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名校
解题方法
【推荐1】某次考试共有四个环节,只有通过前一个环节才能进入后一个环节.现已知某人能够通过第一、二、三、四环节的概率依次是,,,,且每个环节是否通过互不影响.求:
(1)此人进入第四环节才被淘汰的概率;
(2)此人至多进入第三环节的概率.
(1)此人进入第四环节才被淘汰的概率;
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【推荐2】为了鼓励师生积极参与体育运动,某校举办运动会并设置了丰厚的奖励,甲同学报名参加了羽毛球和长跑比赛.甲在羽毛球比赛中顺利晋级到了决赛,决赛采用“五局三胜制”,先获胜三局的选手即获得冠军,甲在每局中获胜的概率均为,各局胜负相互独立.
(1)求甲获得羽毛球比赛冠军的概率
(2)长跑比赛紧接在羽毛球决赛后进行,由于连续比赛,体力受到影响,若羽毛球决赛局打3就结束,则甲在长跑比赛中有的概率跑进前十名,若羽毛球决赛局数大于3,则甲在长跑比赛中不可能跑进前十名.已知羽毛球比赛冠军奖金是300元,亚军奖金是100元,长跑比赛跑进前十名就获得100元奖金,没有其他奖项,求甲在这两项比赛中获得的奖金总额X(单位:元)的分布列.
(1)求甲获得羽毛球比赛冠军的概率
(2)长跑比赛紧接在羽毛球决赛后进行,由于连续比赛,体力受到影响,若羽毛球决赛局打3就结束,则甲在长跑比赛中有的概率跑进前十名,若羽毛球决赛局数大于3,则甲在长跑比赛中不可能跑进前十名.已知羽毛球比赛冠军奖金是300元,亚军奖金是100元,长跑比赛跑进前十名就获得100元奖金,没有其他奖项,求甲在这两项比赛中获得的奖金总额X(单位:元)的分布列.
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【推荐3】某一段海底光缆出现故障,需派人潜到海底进行维修,现在一共有甲、乙、丙三个人可以潜水维修,由于潜水时间有限,每次只能派出一个人,且每个人只派一次,如果前一个人在一定时间内能修好则维修结束,不能修好则换下一个人.已知甲、乙、丙在一定时间内能修好光缆的概率分别为,且各人能否修好相互独立.
(1)若按照丙、乙、甲的顺序派出维修,设所需派出人员的数目为X,求X的分布列和数学期望;
(2)假设三人被派出的不同顺序是等可能出现的,现已知丙在乙的下一个被派出,求光缆被丙修好的概率.
(1)若按照丙、乙、甲的顺序派出维修,设所需派出人员的数目为X,求X的分布列和数学期望;
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解题方法
【推荐1】在某次校园科技节游园活动中,数学兴趣小组的摊位开展了一个特别的投骰子游戏.如果玩家投中1或者6可得1分,并且可以继续下一次投骰子,如果结果为2到5则游戏结束,但游戏的次数最多不超过次.以X表示游戏结束时玩家累计获得的分数.
(1)求玩家至少获得2分()的概率;
(2)求X的分布列;
(3)求X的数学期望.
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【推荐2】某公司举办一次募捐爱心演出,有1000人参加,每人一张门票,每张100元.在演出过程中穿插抽奖活动,第一轮抽奖从这1000张票根中随机抽取10张,其持有者获得价值1000元的奖品,并参加第二轮抽奖活动.第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮,电脑随机产生两个实数(),若满足,电脑显示“中奖”,则抽奖者再次获得特等奖奖金;否则电脑显示“谢谢”,则不中特等奖奖金.
(Ⅰ)已知小明在第一轮抽奖中被抽中,求小明在第二轮抽奖中获奖的概率;
(Ⅱ)设特等奖奖金为a元,求小李参加此次活动收益的期望,若该公司在此次活动中收益的期望值是至少获利70000元,求a的最大值.
(Ⅰ)已知小明在第一轮抽奖中被抽中,求小明在第二轮抽奖中获奖的概率;
(Ⅱ)设特等奖奖金为a元,求小李参加此次活动收益的期望,若该公司在此次活动中收益的期望值是至少获利70000元,求a的最大值.
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【推荐3】某大型工厂招聘到一大批新员工.为了解员工对工作的熟练程度,从中随机抽取100人组成样本,统计他们每天加工的零件数,得到如下数据:
将频率作为概率,解答下列问题:
(1)当时,从全体新员工中抽取2名,求其中恰有1名日加工零件数达到240及以上的概率;
(2)若根据上表得到以下频率分布直方图,估计全体新员工每天加工零件数的平均数为222个,求的值(每组数据以中点值代替);
(3)在(2)的条件下,工厂按工作熟练度将新员工分为三个等级:日加工零件数未达200的员工为C级;达到200但未达280的员工为B级;其他员工为A级.工厂打算将样本中的员工编入三个培训班进行全员培训:A,B,C三个等级的员工分别参加高级、中级、初级培训班,预计培训后高级、中级、初级培训班的员工每人的日加工零件数分别可以增加20,30,50.现从样本中随机抽取1人,其培训后日加工零件数增加量为X,求随机变量X的分布列和期望.
日加工零件数(个) | ||||||
人数 | a | a | b | c | c | c |
(1)当时,从全体新员工中抽取2名,求其中恰有1名日加工零件数达到240及以上的概率;
(2)若根据上表得到以下频率分布直方图,估计全体新员工每天加工零件数的平均数为222个,求的值(每组数据以中点值代替);
(3)在(2)的条件下,工厂按工作熟练度将新员工分为三个等级:日加工零件数未达200的员工为C级;达到200但未达280的员工为B级;其他员工为A级.工厂打算将样本中的员工编入三个培训班进行全员培训:A,B,C三个等级的员工分别参加高级、中级、初级培训班,预计培训后高级、中级、初级培训班的员工每人的日加工零件数分别可以增加20,30,50.现从样本中随机抽取1人,其培训后日加工零件数增加量为X,求随机变量X的分布列和期望.
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