【推荐1】已知点、、、（），都在函数（，）的图像上.
（1）若数列是等比数列，求证：数列是等差数列；
（2）当（）时，设过点、的直线与两坐标轴围成的三角形面积为，
①求出直线在两坐标轴上的截距；
②求数列最大项及其值，并说明理由；
（3）若数列是递增数列，数列满足：对任意，总可以找到，使得，则称是的“分隔数列”，若（），递增数列满足，是的前项和，若数列是的“分隔数列”，求实数与的取值范围.

【推荐2】已知数列满足:(其中且),为数列的前项和.
(1)若，求的值；
(2)求数列的通项公式；
(3)当时,数列中是否存在三项构成等差数列，若存在,请求出此三项；若不存在,请说明理由.

【推荐3】对于任意，若数列满足，则称这个数列为“K数列”.
（1）已知数列：1，，是“K数列”，求实数m的取值范围；
（2）是否存在首项为-1的无穷等差数列为“K数列”，且其前n项和满足：，若存在，求出的通项公式；若不存在，请说明理由；
（3）已知各项均为正整数的等比数列（至少有4项）为“K数列”，数列不是“K数列”，若，是否存在，使为“K数列”？若存在，请求出，若不存在，请说明理由.

【推荐1】已知整数满足，定义，.
（1）求证：；
（2）若为等比数列，公比为，且，求；
（3）若，求的最小值.

【推荐2】大数据环境下数据量积累巨大并且结构复杂，要想分析出海量数据所蕴含的价值，数据筛选在整个数据处理流程中处于至关重要的地位，合适的算法就会起到事半功倍的效果．现有一个“数据漏斗”软件，其功能为；通过操作删去一个无穷非减正整数数列中除以M余数为N的项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列．设数列的通项公式，，通过“数据漏斗”软件对数列进行操作后得到，设前n项和为．
(1)求；
(2)是否存在不同的实数，使得，，成等差数列？若存在，求出所有的；若不存在，说明理由；
(3)若，，对数列进行操作得到，将数列中下标除以4余数为0，1的项删掉，剩下的项按从小到大排列后得到，再将的每一项都加上自身项数，最终得到，证明：每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和．

【推荐3】已知数列满足，．记，设数列的前项和为，求证：当时．
（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）．

【推荐1】已知常数数列的前项和为，且
(1)求数列的通项公式；
(2)若且数列是单调递增数列，求实数的取值范围；
(3)若数列满足：对于任意给定的正整数，是否存在使 ?若存在，求的值（只要写出一组即可）；若不存在，说明理由.

【推荐2】设数列的首项为1，前n项和为，若对任意的，均有（k是常数且）成立，则称数列为“数列”．
(1)若数列为“数列”，求数列的通项公式；
(2)是否存在数列既是“数列”，也是“数列”？若存在，求出符合条件的数列的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由；
(3)若数列为“数列”，，设，证明：．

【推荐3】已知数列各项不为0，前项和为.
（1）若，，求数列的通项公式；
（2）在（1）的条件下，已知，分别求和的表达式；
（3）证明：是等差数列的充要条件是：对任意，都有：.