【推荐1】已知展开式的各项依次记为.设函数.
（1）若的系数依次成等差数列，求正整数的值；
（2）求证：，恒有

【推荐2】杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了杨辉三角.在欧洲，帕斯卡在1654年也发现了这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形.杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合.

第0行	1
第1行	1 1
第2行	1 2 1
第3行	1 3 3 1
第4行	1 4 6 4 1
第5行	1 5 10 10 5 1
第6行	1 6 15 20 15 6 1

（1）记杨辉三角的前n行所有数之和为，求的通项公式；
（2）在杨辉三角中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；
（3）已知n，r为正整数，且.求证：任何四个相邻的组合数，，，不能构成等差数列.

【推荐3】已知集合，其中，．如果集合满足：对于任意的，都有，那么称集合具有性质．
（Ⅰ）写出一个具有性质的集合；
（Ⅱ）证明：对任意具有性质的集合，；
（Ⅲ）求具有性质的集合的个数．

【推荐1】已知函数，其中．
（1）若，，求的值；
（2）若，，求(，1，2，3，…，8)的最大值；
（3）若，求证：．

【推荐2】已知展开式中第3项和第7项的二项式系数相等
（1）求展开式中含的项的系数；
（2）系数最大的项是第几项？

【推荐3】（1）已知，求的值.
（2）已知的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大992.求展开式中系数最大的项.

【推荐1】已知数列的前n项和满足.
(1)求的通项公式；
(2)证明：能被5整除；
(3)证明：.

【推荐2】求证：（）能被64整除．

【推荐3】已知正项数列的前n项和为满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，记为数列的前n项和，表示x除以3的余数，求．